2025年高考北京卷数学真题（含答案解析）

这是一份2025年高考北京卷数学真题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知复数z满足，则（ ）
3. 双曲线的离心率为（ ）
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
5. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
6. 已知，则（ ）
7. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
9. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
10. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________．
12. 已知，则________；________．
13. 已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________．
14. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________．
15. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论：
①存在在上单调递增的函数使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
20. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
21. 已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．
(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
2025年高考北京卷数学真题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面解析几何、三角函数与解三角形、数列、等式与不等式、函数与导数、平面向量、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．4
D．8
A．
B．
C．
D．
A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）
A．
B．
C．16
D．18
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．8
B．6
C．4
D．3
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
4
较易
4
适中
10
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
求复数的模；复数的除法运算
3
0.94
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
4
0.94
求图象变化前（后）的解析式
5
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；等比中项的应用；利用等差数列通项公式求数列中的项
6
0.85
由已知条件判断所给不等式是否正确；由基本不等式比较大小
7
0.65
判断命题的充分不必要条件；抽象函数的值域
8
0.65
正弦函数图象的应用；由正弦（型）函数的周期性求值；辅助角公式
9
0.65
对数的运算性质的应用；利用给定函数模型解决实际问题
10
0.65
数量积的运算律；已知数量积求模；坐标计算向量的模
二、填空题
11
0.94
根据抛物线方程求焦点或准线
12
0.85
求指定项的系数；二项展开式各项的系数和
13
0.65
诱导公式二、三、四；找出终边相同的角
14
0.4
柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算；证明线面垂直；证明面面垂直
15
0.65
求抽象函数的解析式；诱导公式二、三、四
三、解答题
16
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
17
0.65
证明线面平行；线面角的向量求法
18
0.65
用频率估计概率；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积
20
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（含参）；利用导数研究双变量问题
21
0.4
集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7,21
2
复数
2
3
平面解析几何
3,11,19
4
三角函数与解三角形
4,8,13,15,16
5
数列
5
6
等式与不等式
6
7
函数与导数
7,9,15,20
8
平面向量
10
9
计数原理与概率统计
12,18
10
空间向量与立体几何
14,17