四川省自贡市荣县中学校2023-2024学年高二下册5月月考数学试题【附解析】

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1. 若上可导函数在处满足，则（ ）
A. 6B. C. 3D.
2. 函数单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（ ）（若，则，）
A. 0.6827B. 0.8186C. 0.8413D. 0.9545
4. 给图中五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A. 48B. 60C. 72D. 84
5. 如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A. 10B. 20C. 60D. 120
6. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A B. C. D.
7. 把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ）
A. 5B. C. 4D.
8. 当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
二、多选题
9. 已知，若随机事件相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布且，则
B. 甲、乙、丙、丁到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则
C. 五名学生去四个地方参加志愿者服务，每个地方至少有一名志愿者，则不同的方法共有240种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有30种
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 若函数有两个零点，，则
C. 若在定义域内存在单调递增区间，则实数
D. 若，且，则的最大值为
三、填空题
12. 在的展开式中，项的系数为_____________.
13. 某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元.
14. 某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．
四、解答题
15. 已知函数在和处取得极值．
（1）求的值.
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
16. 某企业研发一种新产品，要用与两套设备同时生产，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产的新产品合格率为0.9，设备生产新产品合格率为0.6，且设备与生产的新产品是否合格相互独立.
（1）从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率；
（2）从某批新产品中随机抽取4件，设表示合格品的件数，求的分布列和方差.
17. “南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；
模型②：由散点图样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，.
（1）（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
（2）根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
附：若随机变量，则，；
样本最小二乘估计公式为：，，.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恰有三个零点，求a的取值范围．
19. 已知函数.
（1）若函数y=fx在0,+∞上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若函数y=fx有两个极值点，，
①求实数的取值范围；
②求证：人工投入增量x（人）
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y（万元）
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2