山西省阳泉市第一中学校2024~2025学年高一下册4月期中数学试题【附解析】

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考试时长：120 分钟 总分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B. 若，则
C. 若，，则
D. 对任一非零向量，是一个单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
2. 已知复数的实部与虚部相等，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果.
【详解】易知的实部为，虚部为，
由题意可知，
则.
故选：B
3. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】正三棱锥的所有棱长均为，
则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，
等边三角形的高为，
则该三棱锥的表面积为.

故选：.
4. 若，，且，则x的值为（ ）
A. 1B. C. 或0D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解.
【详解】由题设，
由题，得，解得或.
故选：C.
5. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（ ）.
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案.
【详解】由正弦定理得，
其中，
所以，
因为，所以，
故，
因为，所以，
故为直角三角形.
故选：C
6. 若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量相等即可求解.
【详解】
令顶点的坐标为，又
所以，
如图易知，在平行四边形中，
所以，解得，所以顶点的坐标为，
故选：A.
7. 记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式及余弦定理计算可得.
【详解】因为，
又由余弦定理，
所以，
所以，则.
故选：A
8. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．
【详解】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，
所以，，又和平面内相交直线，
所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为，
所以，
则．
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. 的周长为
C. D. 外接圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.
【详解】由，得，解得或（舍去），
所以的周长为，A正确，B正确.
因为，所以，解得，C错误.
设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确.
故选：ABD.
10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则（ ）
A. B. 与可以作为一组基底
C. D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量运算的坐标表示及投影向量的意义，逐项计算判断.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，不共线，可以作为一组基底，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量，D正确.
故选：BCD
11. 已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（ ）．
A. 时，则的最小值为
B. 时，则的最大值为4
C. 时，则
D. 时，则
【答案】ABC
【解析】
分析】建立平面直角坐标系，依次对每一选项进行判断．
【详解】解：如图，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，

则依题意有，，，则，，
因为，所以．
对于A，因为，所以，，
当时，最小，最小值为，故A对；
对于B，因为，，，所以当时，有最大值，最大值为4，故B对；
对于C，因为，，所以，故C对；
对于D，因为，，不能求出其值，故D错．
故选：ABC．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数z的模为2，则的最大值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值.
【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2，
则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
而是圆上的点到点的距离，
所以.
故答案为：3
13. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积.
【详解】
如图，直角梯形即为原图形，则，
所以四边形的面积.
故答案为：6.
14. 如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则_________；若，，，则_________．

【答案】 ①. ②. 96
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解.
【详解】设，，因为，分别是边，中点，所以，则，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，，
所以．又，
所以．
故答案为：，96
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，其中.
（1）若，求的值；
（2）若对应的点在第一象限，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可；
（2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可.
【小问1详解】
由，可得，解得或；
【小问2详解】
由对应的点在第一象限，可得，
解得且，
所以的取值范围为.
16. 已知向量．
（1）求向量与的夹角的大小；
（2）若向量，求实数值；
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出数量积胶向量的模，进而求出夹角.
（2）利用向量共线的坐标表示列式求解.
【小问1详解】
由向量，得，
于是，而，
所以.
【小问2详解】
由向量，得，，
由，得，解得，
所以实数的值是.
17. 如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．
（1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；
（2）若，，，求四面体外接球的表面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积；
（2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积．
【小问1详解】
若四面体各棱长均为，
则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，
所以，
；
【小问2详解】
由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，
所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得，
设长方体外接球的半径为，则，则，
所以外接球的表面积为．
18. 梯形中，，，，．
（1）求；
（2）若的面积为8，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理可求出结果；
（2）由，进而可求，再利用的面积为8，求出，再根据余弦定理可求出结果.
【小问1详解】
，，，中，由正弦定理，得
，为锐角，．
【小问2详解】
，
．，
由，．
在中，由余弦定理，得
．
19. 如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.

（1）若点为边上的中点，
（i）用，表示，；
（ii）求，，，及的余弦值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）（i），；（ii）3，；；.
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）根据向量的线性运算即可求得；（ii）由向量数量积的性质及运算即可求得；
（2）由数量积结合二次函数即可求得.
【小问1详解】
（i）由点为的中点，点为的中点，
可得，；
（ii）由，，，
则，，
可得
；
由，
可得；
由，
可得；
；
小问2详解】
，
设，由题意可知，，
由此得到，
由，，可得，
即的取值范围为.