山东省临沂市第二中学2023-2024学年高一下册5月月考数学试题【附解析】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若（是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对应的点为，因为对应的点位于第四象限，得，解得.故选：C.
2.平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0B．2C．4D．
【答案】C
【解析】如图，根据题意：，，且，，，
．故选：．
3.已知一组数据的平均数是4，方差是2，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（ ）
A．12，10B．12，4C．10，4D．10，18
【答案】D
【分析】根据平均数和方差公式结合题意求解即可.
【详解】因为一组数据的平均数是4，方差是2，
所以，
，
所以数据，的平均数为
，
方差为
，
故选：D
4.已知正方形的边长为2，以为边作正三角形，使得位于直线的两侧，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.
【详解】以为坐标原点，以为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，
由正三角形及正方形的边长为2可知，
，
所以.
故选：D
5.为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1000名学生再用系统抽样的方法抽取，则（ ）
A．每个学生入选的概率均不相等B．每个学生入选的概率可能为0
C．每个学生入选的概率都相等，且为D．每个学生入选的概率都相等，且为
【答案】C
【分析】根据简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样以及概率公式计算可得结果.
【详解】因为简单随机抽和系统抽样都是等可能抽样，所以每个学生入选的概率都相等，且入选的概率等于.
故选：C.
6.气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”，现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三个随机数为一组，代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计，未来三天恰有一天降雨的概率为（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【分析】由随机数组确定表示降雨的随机数组后可得概率．
【详解】表示未来三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8个，
概率为，
故选：C．
7.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积.
【详解】
由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，
即，，
则，则.
长方体的体积.
故选：C.
8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出、的值，依题意可得为等边三角形，求出，再由余弦定理求出即可；
【详解】解：设，
则，
，解得．
因为，所以，又，，所以为等边三角形，
所以，，
由余弦定理，
所以；
故选：B
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【详解】解：对于A：，因为，所以，，
所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：由，，
所以，所以，选项D正确；
故选：BCD
10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
【答案】BC
【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.
【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，
回答问题2且回答的“是”的人数为，
从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，
估计被调查者中吸烟的人数为.
故选：BC．
11.球为正四面体的内切球，，是球的直径，点在正四面体的表面运动，则的最大值为______．
【答案】
【分析】设球的半径为，利用正四面体的性质可得，进而可得，然后根据向量线性运算及数量积的运算律可得，进而即得.
【详解】设球的半径为，由题可知正四面体的高为，
所以，
解得，
因为点在正四面体的表面运动，
所以，
所以.
故答案为：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则______．
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式求得，，及事件同时发生的概率，利用概率的加法公式即可求解.
【详解】由古典概型得：，，，
于是得．
故答案为：.
13.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为____________．
【答案】40
【分析】根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1，可以求出中间一个小长方形的面积，即该组的频率，所以中间一组的频数＝140频率．
【详解】设中间一个小长方形面积为，其他8个长方形面积为，
根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1，
得，则，即中间一组的频率为，
所以中间一组的频数为．
故答案为：40.
14.已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为_____.
【答案】
【分析】设， ，利用三角形重心的性质以及平面向量的运算法则可得，利用向量相等列方程组解得，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】
设，
三点共线，
可设，
，
为的重心，
，
，
，解得，
，
，故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知，是的中点
(1)若，求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若是线段上的任意一点，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）建立直角坐标系，设出数据，写出向量与向量的坐标，代入夹角公式，计算得答案；
（2）设动点的坐标，写出各个向量的坐标，代入计算得关于的目标函数，结合的取值范围，求得最小值.
（1）
因为，所以，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
令，则，所以,
设向量与向量的夹角为，
所以；
（2）
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当时，取得最小值．
16.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示．
(1)补全频率分布直方图；
(2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差；
(3)当一件产品的质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率．
【答案】(1)作图见解析
(2)，
(3)0.95
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出对应的频率，即可补全频率分布直方图；
（2）根据平均数、方差公式计算可得；
（3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于的频率，即可得解.
（1）
解：由频率分布直方图得对应的频率为，
由此补全频率分布直方图如图：
（2）
解：由频率分布直方图可得平均数
，
方差．
（3）
解：质量指标值位于的频率为
．
故样本中的产品为合格品的频率为．
17.中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
【详解】（1），，
∵，，∴．
由正弦定理可知.
（2）∵，，
∴．设，则，在△与△中，由余弦定理可知，
，，
∵，∴，
∴，解得，即．
18.10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
【答案】(1)0.28
(2)0.432
【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束的事件，利用概率公式即可求解；
(2)先找出满足条件的基本事件，然后利用概率公式即可求解.
【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“三局结束比赛”，则，
∴
；
（2）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“决胜局进入第五局比赛”，则，
∴
.
19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
（1）
如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）
如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积