山东省临沂市莒南县第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

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1.若为实数,且 ,则（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可得 ,故选D.
2.是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
画对应的轴，轴，使，如下图所示，
结合图形，的面积为，
作，垂足为，
则，，
所以的面积，
即原图和直观图面积之间的关系为，
所以，的面积为.
故选：A.
3.某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据统计图，以及平均数、众数、中位数的定义来计算m、n、的值即可比较大小，得出答案.
【详解】由统计图可知，测试成绩按从高到低的顺序排好后，中间的两个测试成绩为80分，90分，
故中位数（分），
众数分，
平均数（分），
则.
4.平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由求解即可.
【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故.
故选：D.
5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
3221183429 7864540732 5242064438 1223435677 3578905642
8442125331 3457860736 2530073286 2345788907 2368960804
3256780843 6789535577 3489948375 2253557832 4577892345
A．623B．328C．253D．007
【答案】A
【分析】根据随机数表法依次读数即可.
【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，
下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个是623.
故选：A.
6.袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B不是相互独立事件
C．B与C是对立事件D．A与C是相互独立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.
故选：B.
7.如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值.
【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角,
取的中点O,连接,如图所示:
因为正三棱柱的所有棱长都为2,
所以所以,
同理可得:,所以,
又,所以,
所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角,
又,所以,
因为,所以,
故选:C．
8.在中，内角A的平分线与边BC交于点D且，，若的面积，则AD的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式建立方程，求出，再由三角形面积范围求出角A的范围，利用三角函数即可求解.
【详解】，，，
，
即，
即，解得，
又因为，
所以，即，，
，
故选：D
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创造的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解．引进虚数概念后，代数方程的求解问题才得以解决．设是方程的根，则（ ）
A．B．C．是该方程的根D．是该方程的根
【答案】AD
【分析】求出方程的两根，利用根与系数的关系可判断AB选项；利用代入法可判断C选项；计算得出，可判断D选项.
【详解】解方程，即，解得，
所以，与为方程的两根.
对于AB选项，由韦达定理可得，，A对B错；
对于C选项，因为，
故不是方程的根，C错；
对于D选项，若，则，
若，则，
所以，是该方程的根，D对.
故选：AD.
10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
【答案】BC
【分析】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.
【详解】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，
回答问题2且回答的“是”的人数为，
从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，
估计被调查者中吸烟的人数为.
故选：BC．
11.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（ ）
A．边中线的中点
B．边中线的三等分点（非重心）
C．的重心
D．边的中点
【答案】ACD
【分析】利用重心的向量表示及向量的线性运算，得到，判断出P的位置，对四个选项一一验证，得到正确答案.
【详解】因为O是的重心，所以，
所以,
所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心）
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某小学三年级共有学生600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有_______人.
【答案】102
【分析】先求出随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生人数，利用样本估计整体即可求解.
【详解】解：根据题意，随机抽查的100名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的学生有人，
故该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有人.
故答案为：102.
13.A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产手套___________万只．
【答案】
【分析】由均值定义得，再根据方差公式求得.
【详解】依题意得，
设，，，，的平均数为，
根据方差的计算公式有
，
∴，
即，又，
∴．
故答案为：．
14.在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
解析：由题意知，所以，即即，所以，所以
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知向量,,其中,且.
(1)求和的值;
(2)若,且,求角.
【答案】(1)，；(2).
【解析】(1)∵,∴,即.
代入,得,
又,则,.
则.
.
(2)∵,,∴.
又,∴.
∴==.
由,得.
16.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220) ，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如下：
(1)求直方图中的值；
(2)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？
【答案】(1)
(2)5 户
【分析】（1）根据小矩形的面积和为1求解即可；
（2）根据分层抽样的方法求解即可.
【详解】（1）解：由直方图的性质可得：
，解方程可得：
所以，
（2）解：由直方图可得：
月平均用电量为[220，240)的用户有 户，
月平均用电量为[240，260)的用户有 户，
月平均用电量为[260，280)的用户有 户，
月平均用电量为[280，300]的用户有 户，
抽取比例为 ，
所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取 户．
17.在中，角、、的对边分别是、、，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
（1）
解：由可得，
所以，，
由正弦定理得，
，
、，则，所以，，故.
（2）
解：由正弦定理可得，则，，
，
，则，所以，，
故.
18.一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为，，），2支为二等品（记为，），从中随机抽取2支进行检测.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.
【答案】(1)，，，，，，，，，.
(2)
【分析】（1）直接写出样本空间即可；
（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.
【详解】（1）试验的样本空间为：，，，，，，，，，.
（2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有，，3种情况，故概率.
19.如图，四棱锥中，，平面平面．
(1)求证：；
(2)设，点N在棱上， ，求多面体的体积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用线线垂直的判定定理证明即可（2）过作的延长线交于点，连接，在过作交于点，结合（1）的结论，找出四面体的高和相应底面图形的面积，代入公式计算即可
【详解】（1）因为
所以为等腰三角形，为的中点
所以,
由平面平面，且平面平面=
又平面
所以平面
所以.
（2）因为
所以
由，
所以平面
所以,
因为
所以
过作的延长线交于点，连接，
在过作交于点，如图所示，
则由平面，平面
所以且
所以平面，
所以为四面体的高
又由，
所以四边形为正方形，四边形为矩形，
所以,，
所以在直角中，
所以
在中，，
所以
在中，由
所以
将，代入计算得：
所以
在直角中，
所以
即多面体的体积为.