湖北省武汉市部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期4月期中测试数学试题（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（ ）
A．B．C．D．或
4．如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
5．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（ ）
A．B．C．D．
6．在下列函数中，周期为的函数是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减D．在区间上共有8100个零点
8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．[3，5]D．
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一条对称轴
B．的对称中心是
C．在区间上的值域是
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则
11．在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的取值范围是
C．当时的外接圆半径为
D．若当变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题
12．若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13．在中，角的对边分别为，则 ．
14．在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
16．已知.
(1)求；
(2)求.
17．已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
18．已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为.
(1)求的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围.
19．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为是弧上的动点（不含点），作交OB于点，作交OA于点，同时以OA为斜边，作，且．
(1)设，将的面积表示成的函数并求其最大值；
(2)从点出发，经过线段，到达点，求途经线段长度的最大值．
1．D
根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求.
【详解】由题意，且，解得，
所以.
故选：D
2．C
分子分母同除，化弦为切代入求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：C．
3．B
利用正弦定理可得，进而可得角C.
【详解】在△ABC中，，，，
由正弦定理得，
且，则，可得，
所以．
故选：B．
4．A
根据题意结合向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选：A．
5．C
利用题中定义结合三角恒等变换化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C．
6．C
利用三角恒等变换、结合正余弦函数及正切函数的周期逐项判断即可.
【详解】对于A，，周期为，A不是；
对于B，，周期为，B不是；
对于C，，周期为，C是；
对于D，，周期为,D不是.
故选：C
7．D
由图像即可得到函数解析式，从而判断AB，由正弦型函数的单调区间即可判断C，由正弦型函数的零点代入计算，即可判断D.
【详解】由图可知，，且，可得，
又，∴，故A错误；
由五点作图法可知，，解得，
则的最小正周期为，故B错误；
函数解析式为，
当时，，，
在区间上不是单调减的，故C错误；
由，可得，即，
再由，解得，
由，解得，
∴，则在区间上共有8100个零点，
故D正确．
故选：D．
8．B
根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】由题意可得：
，
即是上的“完整函数”，所以存在，
使得成立；
即存在，使得成立；
又因为，因此，
即在上至少存在两个最大值点，
所以，解得；
当，即时，一定满足题意；
若，因为，，所以，
又易知；
所以只需保证即可，解得，
综上可知．
故选：B．
9．ABD
对于A，计算即可判断；对于B，根据模长公式计算即可得解；对于C，根据向量夹角余弦公式计算即可判断；对于D，根据投影向量定义公式计算求解即可得解.
【详解】对于A，由题意可得，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量是，故D正确.
故选：ABD.
10．AD
求得函数的对称轴与对称中心可判断AB；利用余弦函数的性质求得最小值可判断C；求得函数的解析式，计算可判断D.
【详解】由，解得，
所以的对称轴方程为，
当时，，所以是的一条对称轴，故A正确；
由，可得，
所以的对称中心是，故B错误；
当时，，
此时的最小值为，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以，所以是奇函数，
所以，故D正确.
故选：AD.
11．ACD
由对进行化简得，在利用正弦定理可以推出；再由为锐角三角形化简出的取值范围，且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围；同样根据，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径；由的取值范围，且对进行化简得，且，当取到最大值时转化成求出的取值范围.
【详解】对于A：，且，即，
由正弦定理得：，
即，
或（舍去），
，故A正确；
对于B：由正弦定理，
则，
为锐角三角形，则，即，
，所以，故B不正确；
对于C：且，
，所以，
由正弦定理，求得，即的外接圆半径为；故C正确；
对于D：
，且，
，即；
要使得有最大值，即有最大值，
此时，当有最大值时，即时，
有最大值为，此时，
，又，
，，
∴的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为为纯虚数，则，解得.
故答案为：.
13．
【详解】由余弦定理可得：，
∴，
所以2．
故答案为：
14．．
【详解】如图：
记的外接圆半径为，
，
由图可知的最大值为时，取最大值0；
因为中，所以当为中点时，最小，
此时，所以取最小值，
故答案为：．
15．(1)2
(2)
（1）根据，由是“理想复数求解；
（2）由（1）知，再由求解.
【详解】（1）解：由题得，
，
是“理想复数”，
，
；
（2）由（1）知，
所以，
由，
得，
.
16．(1)
(2)
（1）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本关系式与角的范围求得，再利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】（1）因为，，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以
.
17．(1)
(2)
（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角；
（2）由面积公式解出的值，再由余弦定理解得的值.
【详解】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，
∴，
由，sinB>0，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
18．(1)
(2)
（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解；
（2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解．
【详解】（1），
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以，
令，则，
所以的单调递减区间为
（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，所以，
因为在上只有一个解，
由的图象可得，或，
所以的取值范围是
19．(1)，最大值为
(2)
（1）由可得，可得，，再利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可；
（2）过点作，垂足为点，结合图形关系可得，令，换元，结合二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值.
【详解】（1）由，则，
在中，，，
则，，
所以，
因为，则，
当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为.
（2）过点作，垂足为点，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，则为等腰直角三角形，则，
所以，，
，，
所以，，
令，
因为，则，则，
所以，，，
所以，，
所以，，
故当时，取最大值，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
C
C
D
B
ABD
AD
题号
11









答案
ACD