湖北省武汉市问津联盟2024~2025学年高二下册5月月考数学试题【附答案】

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1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义计算．
【详解】，
故选：B．
2. 已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算求得答案.
【详解】由和是方程的两个根，得，
又数列为各项均为正数的等比数列，则，
所以.
故选：B
3. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A 160B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式展开，结合常数项的特征，即可求解.
【详解】因为二项式的展开式的通项为，令，得，
所以常数项为.
故选：C
4. 甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和甲也相邻的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据样本空间法，结合条件概率公式，即可求解.
【详解】记事件：甲乙相邻，事件：甲丙相邻，则事件：甲和乙丙都相邻，所求事件为，
甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，
由古典概型的概率公式可得.
甲和乙丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且甲位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，
由古典概型的概率公式可得，
由条件概率公式可得.
故选：A.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
6. ①不能被1000整除；
②若随机变量，且，则；
③如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法.
以上说法错误的个数为（ ）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理确定余数判断①；利用正态分布的对称性求出概率判断②；利用分步乘法计数原理列式计算判断③即可.
【详解】对于①，，
为整数，①错误；
对于②，由，且，得，
因此，②正确；
对于③：先涂I有5种，再涂II有4种，然后涂III有3种，最后涂IV有3种，
由分步乘法计数原理得一共有种涂色方法，③正确.
故选：B
7. 在排列中，任取两个数且如果，则称这两个数为该排列的一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.在排列中任取两数，则这组数是逆序的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法计算古典概型概率即可.
【详解】在排列中任取两数，构成排列的基本事件有：
，
共10个，这组数是逆序包含的基本事件有：，共5个，则这组数是逆序的概率是.
故选：D.
8. 抛掷一枚质地均匀的硬币次（其中为不小于2的整数），设事件表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件与事件是独立的，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】分别求，利用建立方程即可求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，所有可能的结果有种.
事件A表示“次中至少有一次正面和一次反面朝上”，
其对立事件为“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，
包含的情况有2种，所以.
根据对立事件概率之和为1，可得.
事件表示“次中至多有一次正面朝上”，
即“次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.
“次中没有正面朝上”的情况有1种；“次中有一次正面朝上”，从次中选1次为正面朝上，有种情况.所以事件包含的情况共有种，则.
事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，
即“次中有一次正面朝上”，有种情况，所以.
因为事件与事件是独立的，所以，即.
可得：.展开得：.即.
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式不成立；当时，等式不成立..
所以.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题正确的为（ ）
A. 若，则
B. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为
C. 新高考改革实行“”模式，某同学需要从政治､地理､化学､生物四个学科中任选两科参加高考，则在选择化学的条件下，选择生物的概率是
D. 在的展开式中含项的系数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用排列组合数计算判断A，运用古典概型判断B，运用条件概率计算判断C，运用二项式定理通项公式计算判断D.
【详解】由得：，，，
解得，故A正确；
抛掷两枚质地均匀的骰子，总的基本事件数为种，向上点数之和不小于10的基本事件有，共6种，所以所求事件的概率，故B错误；
记选择化学为事件M，选择生物为事件，则，故C正确；
展开式的通项公式为，
令，得，
展开式的通项公式含项为，
故项的系数为，故D正确；
故选：ACD
10. 2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程､向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习､领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，总分低于0分记为0分，甲､乙两人答对与否互不影响，则（ ）
A. 乙得40分的概率是
B. 乙得分的数学期望是28
C. 甲得0分的概率是
D. 甲､乙的得分都是正数的概率是
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求乙得分的分布列，再求期望，即可判断AB，首先利用独立重复事件概率公式，求甲得分为0分和正数的概率，并利用独立事件同时发生的概率公式，判断CD.
【详解】设乙得分为，则的所有可能取值为，且
因此，故A错误，B正确；
记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，
则.
易知，故甲乙得分都是正数的概率为，故CD正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 是的极大值
B. 当时，有且仅有一个零点，且
C. 当时，
D. 若存在极小值点，且，其中，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先求函数的导数，讨论三种情况讨论函数的单调性，确定函数的极大值点，以极大值，即可判断A，由函数的单调性，以及零点存在性定理，判断B，由函数的单调区间，由自变量的大小，比较函数值的大小，即可判断C，由A可知，，再代入，化简求解.
【详解】对于选项，则，
当时，令，得或，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是极大值点，极大值为；
当时，，易知极大值为；
当时，令，得或，
当或时，，当时，，
所以是的极大值点，极大值为，综上，故A正确；
对于选项B，当时，，
由选项A可知，的减区间为，增区间为，
当时，，，，，
由零点存在性原理知，当时，有且仅有一个零点，且，
故，故B正确；
对于选项C，当时，由选项A可知，在区间上单调递减，又，即，故，故C错误；
对于选项D，因为存在极小值点，由选项A可知，且，得到，由，则，整理得，即，因为，化简得，即，即，故，故D正确；
故选：ABD
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的分布列如下表，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分布列的性质求出，再求期望即可.
【详解】由分布列的性质有，得，从而，
故答案为：
13. 已知随机变量，则取最小值时，__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式,求出代数式最小值时的参数值,再根据离散型随机变量期望和方差的性质,求出结果.
【详解】由，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
所以，
故答案为:12.
14. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”､将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，则，构造数列，利用等比数列的通项公式即可求解．
【详解】
由得，，所以数列是以首项为，
公比为3的等比数列，故
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知.
（1）求展开式中二项式系数最大的项
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据二项式系数的性质,求出二项式最大的项是哪两项,再根据二项式展开式求出对应的项.
(2)通过特殊值将各项系数的和改成偶熟项系数减去奇数项系数的形式,求出结果.
【小问1详解】
展开式的通项公式为，二项式系数最大为
即.
【小问2详解】
由可知，
令，得
令，得
16. 已知是等差数列的前项和，且满足是的等差中项，是的等差中项.
（1）求数列的通项公式
（2）记，求数列的前项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差中项的性质，结合等差数列基本量的计算，
（2）利用并项求和，即可对分奇偶求解.
【小问1详解】
设数列的公差为，由是的等差中项得，即，整理得
是的等差中项得，即，解得
代入，求得，故
【小问2详解】
由（1）得，
当偶数时，
当为奇数时，则为偶数，
综上
17. 已知是函数的极值点.
（1）求实数的值
（2）过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据函数的极值点是导函数的零点，对函数求导，代入极值点数值求解方程即可求参数.
(2)根据导函数的实际意义，写出函数切线方程得通式，根据在点上有三条曲线的情况，代入坐标，则新的方程有三个解.构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件.
【小问1详解】
由得，.
是的极值点，故，整理得.
解得，或
经检验，当时，不是的极值点，不合题意，故舍去.
故；
【小问2详解】
由（1）可知，，
设切点坐标为，切线的斜率为.
则切线方程，将点代入并整理得.
记，由题意得，直线与曲线有三个不同的交点.
，令，得或，
当或时，单调递减，当时，单调递增且.
故.
18. 为了普及全运知识.某中学举办了一次全运知识闯关比赛.比赛分为初赛与复赛.初赛胜利后才能进入复赛.初赛规定：三人组队参赛.每次只派一个人.且每人只派一次：如果一个人闯关失败.再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利.无需继续闯关.现有甲､乙､丙三人组队参加初赛.他们各自闯关成功的概率分别为.假定互不相等.且每1人能否闯关成功相互独立.
（1）若计划依次派丙､乙､甲进行初赛闯关..求该小组初赛胜利的概率：
（2）已知.现有两种初赛人员派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：方案二：依次派出丙乙甲
设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量.求.并比较它们的大小；
（3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛.复赛规定：单人参赛.每个人回答三道题.全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖.已知某学生进入了复赛.该学生在复赛中前两道题答对的概率均为.第三道题答对的概率为.若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为.求的最小值.
【答案】（1）
（2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）该小组获胜分为3个互斥事件，再结合独立事件概率公式，即可求解；
（2）根据条件，分别求和的分布列，再求数学期望，再作差比较大小；
（3）首先由题意可知，，再将概率转化为关于的函数，利用导数求最值.
【小问1详解】
设事件表示该小组获胜，
则，
所以该小组初赛胜利的概率为.
【小问2详解】
的可能取值为，
则，
此时.
的可能取值为，
则，
此时.
所以
，
因为，
所以.所以.
【小问3详解】
由题意可得，
则.
令，
则.
令，
所以当时，为减函数，
当，，时为增函数.
所以.
所以的最小值为.
19. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内､校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为.
（1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
（2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
（3）体育测试前甲､乙､丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率.
【答案】（1）分布列见解析，；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题设有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；
（2）应用条件概率和全概率公式求概率；
（3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，次传球后球在乙手中的概率为，则，即，根据等比数列的定义写出通项公式，即可得.
【小问1详解】
该校随机抽取三人，每个人满分的概率为，设抽取的三人中满分人数为，
则，则
则的分布列为：
所以数学期望.
【小问2详解】
用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，则，且，
又，
所以，故，
所以.
【小问3详解】
记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，则有，
所以，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
即第次传球后球在乙手中的概率为.
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