福建省莆田市莆田第五中学2024~2025学年高一下册期中考试数学试卷【附解析】

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1. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
2. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）

A. B. 4C. D. 8
3. 已知边BC上有一点D，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 释迦文佛塔，又称广化寺塔，位于福建省莆田市城厢区广化寺东侧，建造年代尚无法确定，但早于南宋乾道元年（1165年），是一座仿木楼闹式石塔．如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在广化寺的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则广化寺塔的高度约为（ ）
A. 25mB. 31mC. 30mD. 44m
8. 如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则下列叙述错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为5
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则且
10. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则三角形有两解
C. 若，则等腰三角形
D. 若，则为钝角三角形
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）
A. 动点轨迹是一条线段
B. 直线与的夹角为
C. 三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D. 平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知复数z满足，则________．
13. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________．
14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知复数
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16. 如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：

（1）；
（2）平面平面.
17. 设内角所对的边分别为，已知，且．
（1）求面积；
（2）若为角的平分线，交于，求的长度．
18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）若为正三角形，，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若点到底面的距离为3，求三棱锥的体积．
19. 古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
（1）若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
（2）若，且为正三角形，求面积最大值；
（3）已知，且，，求的最大值