云南省2025届高三5月大联考（新课标卷） 数学试题（含解析）

这是一份云南省2025届高三5月大联考（新课标卷） 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知方程，现从集合中随机取出一个元素作为的值，记事件：表示的曲线为椭圆，事件：表示的曲线的焦点在轴上，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，且，则实数（ ）
A．-10B．-6C．5D．11
6．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0B．-1012C．-2D．1010
8．已知是双曲线右支上一点，过点作的渐近线的垂线，垂足分别为点，，且点，分别在第一、第四象限.若为坐标原点，四边形的面积为定值，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．已知实数满足，复数，则（ ）
A．为纯虚数B．的虚部为
C．D．
10．如图，在正四棱锥中，为，的交点，为侧棱的中点，为侧棱上一点（异于，两点），若，且，则（ ）
A．B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积为D．异面直线与所成角的余弦值的最小值为
11．重幂在数学、计算机科学和物理学等领域都有广泛应用.例如，在组合数学中，重幂运算可以用来计算排列和组合的数量；在算法设计中，重幂运算可以用来计算复杂度分析中的阶乘和指数增长；在量子力学中，重幂运算可以用来表示量子态的多次叠加和演化.设，，定义，我们把“”称作“的重幂”，例如，，，则（ ）
A．B．的最小值为1
C．D．
三、填空题
12．记为等差数列的前项和，若，则 .
13．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为 .
14．有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量表示摸球的次数，记，则大于的最小整数为 .
四、解答题
15．在中，内角，，的对边分别是，，，且.
（1）证明：；
（2）若，，点在边上，且，求的长.
16．已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1.
（1）求的方程；
（2）设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值.
17．自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）.
（1）若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）.
（2）若用作为回归模型，
①求的值；
②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
附：（1）上表中；
（2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数.
18．如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知函数满足：①；②，是的导函数；③是的一次函数.
（1）求的表达式.
（2）若同学甲已经证得“当为偶数时，的函数值恒大于0”是正确的结论.请在此基础上帮他完成下面问题：
①证明：当为奇数时，有唯一零点；
②在①的情况下，设的零点为，比较与的大小，并证明.
参考答案
1．【答案】B
【详解】命题“”的否定是“，”.
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为，，
所以.
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题意知角的终边经过点，则，
故,
故选D
4．【答案】B
【详解】事件发生时，；事件发生时，；
则，
所以．
故选B．
5．【答案】D
【详解】因为，且，
所以，解得.
故选D
6．【答案】C
【详解】对于A，因为是减函数，且，所以，故A错误；
对于B，取，则，故B错误；
对于C，因为是增函数，且，所以，故C正确；
对于D，因为是增函数，且，所以，故D错误.
故选C.
7．【答案】C
【详解】已知为奇函数，所以且，
因为，所以，则，函数的周期为4，
因为，，，，
所以，
因为，前2024项和为，，
所以.
故选C
8．【答案】A
【详解】根据题意画出大致图象为：
双曲线的渐近线方程为：，即.
设，根据点到直线的距离公式可得：
.
因为直线垂直于渐近线，
所以直线的斜率分别为.
所以直线的方程为.
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
联立直线与渐近线的方程可求出点的坐标为：，
进而，
所以四边形的面积为：
，
因为点在双曲线上，所以，化简得，
所以四边形的面积为：.
又因为四边形的面积为定值，则，
所以，此时离心率为.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】因为，所以，则，A错误；
，的虚部为，B正确；，C正确；
，D错误.
故选BC
10．【答案】AC
【详解】由题意，得．
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，假设存在点，使得平面．
因为平面平面，所以平面．
又平面平面，所以平面平面，
而平面与平面相交，矛盾，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，如图，取的中点，连接，则．
显然，所以异面直线与所成的角即为．
由，得为正三角形，所以，
所以，故D错误．
故选AC．
11．【答案】ACD
【详解】对于选项A，根据指数幂的运算法则，，对于，先将变形，
因为，所以，可得，所以，选项A正确.
对于选项B，令，两边取自然对数可得.
设，，对求导， .
令，即，解得.
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增.
则在处取得最小值，，即，那么，所以的最小值为，而不是，选项B错误.
对于选项C，令，则，，.
采用反证法，假设存在，使得.
因为，根据对数函数的单调性，可得，又因为，所以.
同理可得，以此类推，重复上面操作有限次后，必会得到，但已知，这产生了矛盾，所以假设不成立，即不存在，使得，选项C正确.
对于选项D，因为对于任意，恒成立，展开可得，即.
根据对数函数与指数函数的关系，可得.
所以，根据基本不等式，当且仅当，即时取等号，选项D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由，可得，
所以，则，
故.
13．【答案】/
【详解】由题意得的零点，即为的解，，
即得或，
即或，
对于，其中相邻解之间距离为，
对于，其中相邻解之间距离为，
当在中取一解，在中取一解时，
两解之间的距离最小为，
综合以上可知的最小值为.
14．【答案】3
【详解】设每次摸到红球的概率为，则．
由题意，知的可能取值为，
则．
设①，
则②，
①②得,
所以，所以，
所以大于的最小整数为3．
15．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）由正弦定理，得．
又，，
所以，即，
所以．
又，所以．
又，所以.
（2）由，知．
由，得．
因为，
所以
即
解得．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，则
由题意，得，解得，
所以的方程为；
（2）在点处的切线，
设直线的倾斜角分别为，
联立
则，得，则，
且，则，故，
设直线的倾斜角分别为，则，
又，所以，
当且时等号成立，
即的最大值为.
17．【答案】（1）
（2）①，，②预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）.
【详解】（1）由题意可得，
所以决定系数
（2）将两边取对数，可得，
设，则模型为，其中，
因为，
所以
，
所以，
则，
所以，，
因为该模型下的决定系数，大于线性模型下的决定系数，
故指数模型拟合效果更好，
令，可得（亿元），
故预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）在四棱柱中，根据棱柱的性质，有.
因为底面为正方形，根据正方形的性质可知，由平行线的性质可得.
已知，且，平面，平面，所以平面.
又因为平面，所以.
由于，再根据平行线的性质，所以.
（2）连接相交于点，连接，.
因为底面为正方形，为的中点，根据正方形的性质可知.
又，，平面，平面，由线面垂直的判定定理可得平面.
因为平面，所以.
已知，在四棱柱中，所以，在等腰三角形中，为中点，所以.
又，平面，平面ABCD，可知平面.
因为，所以以为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
由，可得正方形的对角线，
则，所以，，，，，.
进而可得，，，，.
连接，，因为，又，平面，平面，可知平面.
易证平面平面，所以平面，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，则由，即.
令，将其代入，可得；再将，代入，可得，所以是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，根据向量的夹角公式.
，，.
则，即平面与平面夹角的余弦值.
19．【答案】（1）
（2）①答案见详解②
【详解】（1）设，.
由，.
又因为，所以，对求导得，则，可得，，即.
由可得：
通过归纳可得.
（2）①当为奇数， 求导得. 则为增函数.
又，.根据零点存在定理，在上有唯一零点，所以当为奇数时，有唯一零点.
②.下面证明：
由①知，当为奇数， 在上单调递增.
所以要证，只需要证明，
只需要证明，
又，只需要证明，
只需要证明，只需要证明，
由①知道，所以显然成立，所以.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规模
1.5
2.5
3.4
4.9
7.8
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4