云南省临沧地区中学2025届高三第二次阶段性教学水平诊断检测 数学试题（含解析）

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1.已知集合A={x|2x−x2≥0}，B={y|y=2024x+1,x∈R}，则(∁RA)∪B=( )
A. {x|x0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD=90°，且△ABF的面积为9 3，则下列说法正确的是( )①△ABF是等边三角形；②|BF|=3；③点F到准线的距离为3；④抛物线C的方程为y2=6x．
A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ②③④
6.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA+ 3csA=0，D在边BC上，AD是角A的平分线，AD=23，a= 7，则▵ABC的周长为( )
A. 3+ 7B. 4+ 7C. 5+ 7D. 6+ 7
7.已知正四棱锥的高为ℎ，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且32⩽ℎ⩽92，则当该正四棱锥体积最大时，高ℎ的值为( )
A. 2B. 32C. 4D. 92
8.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是(两组)双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+1x的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数y=ax+bx，(a>0,b>0)的图象是以直线y=ax，x=0为渐近线的双曲线.现将函数y=x+1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是( )
A. 4−2 22B. 2− 22C. 4−2 2D. 4−2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛，40%的学生报名参加了物理竞赛．报名参加数学竞赛的学生中，有30%同时也报名参加了物理竞赛．从该班级中随机抽取一名学生，记事件A为“该学生报名参加数学竞赛”，事件B为“该学生报名参加物理竞赛”.则以下说法正确的是( )
A. 事件A和事件B是独立事件B. P(A|B)=0.45
C. P(B|A)=0.30D. P(A∪B)=0.82
10.下列结论中正确的是( )
A. 已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y−5=0
B. 已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x−2)2+(y−3)2=1，则圆O和圆C有4条公切线
C. 若直线l:x−y+m=0上存在点P，过点P作圆O:x2+y2=4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[−4,4]
D. 已知圆C:(x−6)2+y2=9，点M的坐标为(2,4)，过点N(4,0)作直线l交圆C于A，B两点，则|MA+MB|的取值范围是[8,12]
11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x−1.则下列结论正确的是( )
A. f(2024)+f(2025)=−1 B. f(x)在区间(6,8)上单调递增
C. fx的图象关于直线x=4对称D. 函数y=f(x)−lg8x有5个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a与b的夹角为60∘,b=1,a−b= 32，则a= ．
13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为6000等份，每一份称为1密位．将函数f(x)=−cs2x− 3sin xcs x+12的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y轴对称，则φ最小值的密位数为 ．
14.已知函数f(x)=x2−ax+aex−x2,a∈R，若函数f(x)在x=0处取得极小值，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a2=2，a5=5，且2an,2an+1,2an+2构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn为数列{2an}的前n项和，记bn=Sn+2Sn⋅Sn+1 ，求证：b1+b2+…+bn0，b∈R，e为自然对数的底数．
(1)若b=1，x∈[0,+∞)，①若函数f(x)单调递增，求实数a的取值范围；②若对任意x≥0，f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
(2)若b=0，且f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：1+32a0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，且右顶点和上顶点都在直线 3x+2y−2 3=0上.
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过F1交椭圆C于A，B两点，求ΔA2AB面积的最大值；
(3)若过点P(4,0)的直线交C于M，N两点，点G是线段MN上异于M，N的一点，且GA1=GP，证明：PM⋅GN=PN⋅MG
答案和解析
1.【答案】C
【解答】解：由2x−x2≥0，解得0≤x≤2，
∴A={x|0≤x≤2}，∁RA={x|x2}，
又2024x+1>0，所以集合B={y|y>0}，
∴(∁RA)∪B={x|x≠0}．
2.【答案】B
【解析】解：z=4−i1−i−i=4−i1+i1−i1+i−i=52+12i，
所以虚部为12．
3.【答案】B
解：先把甲、乙全排，有2种情况，构成一个大元素，
则相当于将4个元素排成一列问题，
接着排丁，因为丁不是冠军也不是最差的，所以有2种排法，
接着排丙，因为丙不是冠军，所以有2种排法，
最后排甲乙和戊，2个元素剩余2个位置，有A22=2种排法，
因此5人名次排列共有24=16种不同的可能情况．
故选B．
4.【答案】B
解：鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12lg3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，
可得2=12lg3U100，则lg3U100=4，
所以当耗氧量的单位数为81U时，
v=12lg381U100=12[lg3(81×U100)]=12(4+lg3U100)=12(4+4)=4，
即当耗氧量的单位数为81U时，鲑鱼的游速为4m/s．
5.【答案】C
解：因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以FA=FB，
又由抛物线的定义知AB=FA，所以AB=FA=FB，
所以△ABF为等边三角形，所以①正确；
过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为p2，B的横坐标为−p2，
所以A的横坐标为：3p2，代入抛物线可得yA2=3p2，|yA|= 3p，
因为△ABF的面积为9 3，
所以12xA−xByA=123p2+p2· 3p=9 3，
解得：p=3，
所以BF=AB=3p2+p2=2p=6，
所以②不正确；
所以抛物线的方程为：y2=6x，
所以④正确；
焦点坐标为：32,0，
所以焦点到准线的距离为：32×2=3，
所以③正确，
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：已知sinA+ 3csA=0，移项可得sinA=− 3csA．
因为csA≠0(若csA=0，则sinA=±1，不满足sinA=− 3csA)，
所以sinAcsA=− 3，即tanA=− 3．
又因为00，
则ba= 2−1，
故e= 1+b2a2= 1+(3−2 2)= 4−2 2．
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】解：由题意P(A)=0.60，P(B)=0.40，
在报名参加数学竞赛的学生中，同时报名参加物理竞赛的概率P(B|A)=0.30，所以C正确;
对于A，因为P(AB)=P(A)×P(B|A)=0.60×0.30=0.18，
P(A)P(B)=0.60×0.40=0.24，
由于0.18≠0.24，
事件A和事件B不是独立事件，选项A错误;
对于B，P(A|B)=P(AB)P(B)=，选项B正确;
对于D，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.60+0.40−0.18=0.82，选项D正确．
故选：BCD．
10.【答案】BCD
解：对于A，当直线过原点时，直线方程为y=32x，满足条件，∴A错误；
对于B，圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r1=2，
圆C:(x−2)2+(y−3)2=1的圆心为C(2,3)，半径r2=1，
则圆心距|OC|= 22+32= 13，又r1+r2=3，
由 13>3，可知|OC|>r1+r2，
∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确;
对于C，连接OA，OB，OP，如图，
根据已知条件易知四边形OAPB为正方形，
∴|OP|= 2r=2 2，
∴点P的轨迹是圆心为O，半径为2 2的圆，
又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，
∴圆心O到直线l的距离|m| 2≤2 2，
∴−4≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[−4,4]，∴C正确；
对于D，取AB中点D，连接CD，如图所示：
则CD⊥ND，
∴点D的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为G(5,0)，半径r=1，
∵|MG|= (2−5)2+(4−0)2=5，
∴|MG|−r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，
∴|MA+MB|=2|MD|∈[8,12]，
∴|MA+MB|的取值范围是[8,12]，∴D正确．
故选BCD．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x+1)为奇函数，则f(x+1)=−f(−x+1)，
函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，则有f(x)+f(2−x)=0，
又因为f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，
函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，则有f(x)=f(4−x)，
由f(x)+f(2−x)=0和f(x)=f(4−x)可得f(4−x)+f(2−x)=0，
令t=2−x，则x=2−t，f(2+t)+f(t)=0，即f(x+2)+f(x)=0，
那么f(x+4)+f(x+2)=0，所以f(x)=f(x+4)，函数f(x)的周期是4，
又当x∈(0,2]时，f(x)=x−1，如图：
则f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=−1+0=−1，故A正确；
f(x)在区间(6,8)上单调递减，故B错误；
f(x)的图象关于直线x=4对称，故C正确；
因为f(x)的图像和y=lg8x的图像有5个不同的交点，
故函数y=f(x)−lg8x有5个零点，故D正确．
12.【答案】12
【解析】解：由题意知，
又因为a−b= 32，所以(a−b)2=34，
展开得a2−2a⋅b+b2=34，即1−a+|a|2=34，解得a=12．
故答案为：12．
13.【答案】500
【解析】解：因为f(x)=−cs2x− 3sin xcs x+12，
=−1+2cs2x2− 32sin2x+12，
=− 32sin2x−12cs2x，
=−sin2x+π6，
则由2x+π6=kπ+π2,k∈Z得其对称轴方程为x=kπ2+π6,k∈Z，
则其y轴右边第一条对称轴为x=π6，所以需要其图象向左平移最少π6个单位即可，
所以由π62π6000=500可得x=π6的密位数为500．
14.【答案】−∞,0
解：由题意f′x=xexx+2−2ex−a,令gx=x+2−2ex−a,
由于g′x=1+2ex>0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递增，
由于x→−∞时，gx→−∞,x→+∞时，gx→+∞,故g(x)的值域为R，
故存在实数x0使得gx0=0,
若x0>0，当x∈−∞,0时，xex0,f′x>0,
故此时x=0处不是极值点，舍去；
若x00,f′x>0,
此时函数f(x)在x=0处取得极小值，符合题意．
故只要gx=x+2−2ex−a的零点x00,
即ax2(12x12+x1+1)+x1(12x22+x2+1)2=12x1x2(x1+x2)+2x1x2+x1+x22=1+32x1x2=1+32a．
19.【答案】解：(1)在直线方程 3x+2y−2 3=0中，
令x=0，得y= 3，即上顶点(0, 3)，则b= 3，
令y=0，得x=2，即A2(2,0)，则a=2，
所以C的方程为x24+y23=1；
(2)由题意可知直线l的斜率一定不为0，设l的方程为x=ny−1，
联立x24+y23=1x=ny−1得(3n2+4)y2−6ny−9=0，
由根与系数的关系有
则|yA−yB|= (yA+yB)2−4yAyB=12 n2+13n2+4，
于是S=12|A2F1|⋅|yA−yB|=12×3×12 n2+13n2+4=18 n2+13n2+4=183 n2+1+1 n2+1，
令t= n2+1(t⩾1)，y=3t+1t，
根据单调性可得 y⩾4当且仅当t=1，即n=0时，取等号，
则 ，故 面积的最大值为 92；
(3)当直线MN的斜率为0时，不妨记M(−2,0)，N(2,0)，而A1(−2,0)，由|GA1|=|GP|，得G(1,0)，
则|PM|⋅|GN|=6×1=6，|PN|⋅|MG|=2×3=6，因此|PM|⋅|GN|=|PN|⋅|MG|；
当直线MN的斜率不为0时，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，G(x0,y0)，直线MN的方程为x=my+4，
由3x2+4y2=12x=my+4消去x得(3m2+4)y2+24my+36=0，
则，m2>4，且y1+y2=−24m3m2+4，y1y2=363m2+4，
如图，
，
由|GA1|=|PG|，得点G在线段A1P的垂直平分线x=1上，即x0=1，
显然|PM||PN|=y1y2，
设MG=λGN，即(x0−x1,y0−y1)=λ(x2−x0,y2−y0)，
于是y0−y1=λ(y2−y0)，由点G(1,y0)在直线MN上，得1=my0+4，
则y0=−3m=−7224m=2×363m2+4−24m3m2+4=2y1y2y1+y2，整理得y2y0−y1y2=y1y2−y1y0，
于是y0−y1=y1y2(y2−y0)，因此y1y2=λ，|MG||GN|=λ=y1y2=|PM||PN|，
所以|PM|⋅|GN|=|PN|⋅|MG|．