2024-2025学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二下学期第二次阶段考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二下学期第二次阶段考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知x2∈{1,0,x}，则实数x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
2.已知z=1+i2025(i为虚数单位)，则z=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
4.在四棱锥P−ABCD中，AB=(2,3,−1)，AC=(−2,0,1)，AP=(3,−1,−2)，则该四棱锥的高为( )
A. 2 53B. 23C. 12D. 55
5.小明和小红去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有5个位置，第五排还有9个位置，请问他们看电影的座位有( )种不同选法．
A. 14B. 30C. 45D. 54
6.某研究性学习小组发现，由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y=kx(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y=5x的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
7.已知函数f(x)=asinx+bcsx(x∈R)，若x=x0是函数f(x)的一条对称轴，且tanx0=2，则(a , b)所在的直线为( )
A. 2x−y=0B. x+2y=0C. x−2y=0D. 2x+y=0
8.人工智能领域让贝叶斯公式：P AB=P BAP(A)P(B)站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有96％的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有2％的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为( )
A. 6％B. 4.6％C. 2.4％D. 0.1％
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A，一个酒鬼家住在D，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是( )
A. 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18
B. 若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14
C. 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532
D. 若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732
10.已知圆C:(x+2)2+y2=4，直线l:(m+1)x+2y−1+m=0(m∈R)，则( )
A. 直线l恒过定点(−1,1)
B. 当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 直线l与圆C可能相切
D. 若圆C与圆x2+y2−2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8
11.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上不恒为零的可导函数，对任意的x,y∈R+均满足：f(xy)=xf(y)+yf(x)，f(2)=2，记g(x)=f′(x)，则( )
A. f(1)=0B. f(x)是偶函数
C. g(4x)−gx2=3D. k=12025f2k=2024×22026+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量ξ∼N(1,2)，则E(ξ)= ．
13.已知a x+1x210(a>0)的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中有理项共有 项．
14.“三门问题”(MntyHallprblem)亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let′sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔(MntyHall).参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 (填“会”或者“不会”).换门的话，赢得跑车的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，S2=7．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn满足bn=2an，求bn的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
一个袋子中有4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为215．
(1)求n的值：
(2)从中依次随机地摸出4个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为X,Y．
(i)求X的数学期望和方差；
(ii)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，点D在边BC上，且CD=2BD，E为边AB的中点．S是平面ABC外的一点，且有SA+SB⋅SC=AB+2AC⋅SC=0．

(1)证明：SC⊥SD；
(2)已知DE=1，SD= 6，SE=3，直线BC与平面SDE所成角的正弦值为2 23．
(i)求▵SDE的面积；
(ii)求三棱锥S−ABC的体积．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx+ax+2，满足f′(1)=−2．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
(3)方程f(x)=k+2无实数根，求实数k的范围．
19.(本小题17分)
若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间Ω上的离散型随机变量，则将(X,Y)称为二维离散型随机变量，将(X,Y)取值为xi,yj的概率记作PX=xi,Y=yj，其中i,j=1,2,⋯,n．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得−1分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为12，抽中签者点球，进球得1分，不进球得−1分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为12，23，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y．
(1)求P(X=1,Y=0)，P(X=−2,Y=1)；
(2)求P Y=0X=1；
(3)已知随机事件X=−1发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.D
5.C
6.A
7.C
8.B
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.1
13.6
14.会；23
15.(1)设公差为d，
由题意可得a1+d=4，2a1+2×12d=7，
解得：a1=3，d=1
所以an=n+2
(2)由(1)可得bn=2an=2n+2
则bn是首项b1=8，公比为2的等比数列
则Tn=81−2n1−2=82n−1
16.(1)由题可得C42Cn+42=6(n+4)(n+3)2=215,n∈N∗，
即n2+7n−78=0，解得：n=6．
(2)(i)对于有放回摸球，每次摸到绿球的概率为35，且每次试验之间的结果是独立的，则X∼B4,35,E(X)=4×35=125,D(X)=4×35×1−35=2425
(ii)样本中绿球的比例分别为X4,Y4，
有放回摸球时，概率P1=PX4−0.6≤0.2=P(X=2)+P(X=3)
=C42×252×352+C43×251×353=216625+216625=432625,
不放回摸球时，
概率P2=PY4−0.6≤0.2=P(Y=2)+P(Y=3)=C62C42C104+C63C41C104=37+821=1721.
所以P1