广东省揭阳市惠来县第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省揭阳市惠来县第一中学2024−2025学年高一下学期第一次阶段考试 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（ ）
A．(4，3)B．(－4，－3)
C．(－4，3)D．(4，－3)
2．已知向量，且，则m=
A．−8B．−6
C．6D．8
3．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为
A．1B．C．1或D．-1或
6．在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．3
7．在中，，.点满足，则
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°
10．下列命题中正确的是：（ ）
A．两个非零向量，，若，则与共线且反向
B．已知，且，则
C．若，，，为锐角，则实数的取值范围是
D．若非零，满足，则与的夹角是
11．已知向量，函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．的单调增区间为
三、填空题
12．已知角的终边过点，已知弧长和面积均为的扇形的圆心角为，则 ．
13．已知，则在方向上的投影向量为 ．
14．已知中，与相交于点P，则的面积为 ．
四、解答题
15．（1）化简:；
（2）已知，，，求的值.
16．已知三个点．
（1）求证：；
（2）要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值．
17．的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角；
（2）若点满足，求的长.
18．已知是坐标原点．
（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；
（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．
（3）若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围．
19．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】故选A
2．【答案】D
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
3．【答案】C
【详解】根据题意：
又
所以
故选C
4．【答案】B
【详解】解：∵在中，，
∴，又，，
∴，，
∴
.
故选B.
5．【答案】B
【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反，
则，即，
则，即，
解得：或（舍去）.
即实数的值为.
故选B.
6．【答案】A
【详解】解：由余弦定理可知，，即
，整理得，解得或(舍去)，
则，
故选:A.
7．【答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系
，
点A是BM的中点，
在中，，，
，，，，
，，
故选C
8．【答案】A
【详解】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度为
故选A．
9．【答案】BC
【详解】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝，B＝60°，
∴由正弦定理可得：，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：，且b＞a，则，
∴B有两个可能值，即有两解，
故选BC．
10．【答案】AD
【详解】对于A，因，是非零向量，由两边平方得，则与共线且反向，A正确；
对于B，，由得，则与可能垂直，B不正确；
对于C，依题意得，为锐角，则，即，
当时，，即，显然与不共线，则，于是得为锐角时，且，C不正确；
对于D，，是非零向量，由得，则，
，，而，于是得，
即与的夹角是，D正确.
故选AD
11．【答案】AB
【详解】由题意得，．
的最小正周期，故A正确；
由，知的图象关于点对称，故B正确；
由，知的图象不关于直线对称，故C错．
由，得，，
所以的单调增区间为，故D错；
故选AB
12．【答案】/
【详解】由题意，可得，又，
.
13．【答案】
【详解】在方向上的投影数列为，
所以投影向量为.
14．【答案】2
【详解】在中，令，则，
又三点共线，则，解得，
因此.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，，
所以，
，
所以.
16．【答案】（1）证明见解析；
（2），正切值为.
【详解】（1）由，则，
又，即，则.
（2），四边形为矩形，．
设C点坐标为，则，
，解得，故点坐标为，
由于，故，
又，设与的夹角为，则，
，
所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为．
17．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得，
又，
所以.
由于，则.
又因为，
所以.
【解法二】由题设及余弦定理可得，
化简得.
因为，所以.
又因为，
所以.
【解法三】由题设，
结合射影定理，
化简可得.
因为.所以.
又因为，
所以.
（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.
又因为，所以，即.
在中，因为，，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得，
所以.
【解法2】
在中，因为，，所以，.
由余弦定理得.
因为，所以.
在中，，，
由余弦定理得
所以.
【解法3】
在中，因为，，所以，.
因为，所以.
则
所以.
18．【答案】（1）
（2）当时，的最小值为
（3）
【详解】（1），
，
三点共线，与共线，即，
，
解得：．
（2），
，
∴当时，
取得最小值．
（3）由题意，设，
则，所以，
，
因为，所以当时有最小值，
当时有最大值20，所以的取值范围为，
故的取值范围为．
19．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再根据三角函数的性质计算可得；
【详解】解：（1）由题意知，
即.
由正弦定理，可得.
则由余弦定理，可得.
又因为，所以.
（2）由正弦定理，，
所以，.
则的周长
.
因为，所以，所以，
所以，
所以周长的取值范围是.