广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
2. 如图，在矩形中，（ ）
3. 若复数满足，则（ ）
4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B的大小为（ ）
5. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ）

6. 已知平面向量满足在方向上的投影为1，则（ ）
7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ）
8. 已知圆锥的母线，侧面积为，若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）
10. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为__________.
13. 如图，计划在两个山顶M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在BC同一水平面上选一点A，在A处测得山顶M，N的仰角分别为和，且测得，则M，N间的距离为______.

14. 在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 设复数，为虚数单位.
(1)若，求；
(2)若是纯虚数，求.
16. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，且.
(1)求原平面图形的面积；
(2)将原平面图形绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.
17. 在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长.
18. 已知锐角的角的对边分别为，若是线段上一点，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，且为内角的角平分线，求的最大值.
(3)若是线段上靠近点的三等分点，，求AD的最大值.
19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
(1)设，，为虚数单位，求复向量、的模；
(2)设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．
广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面向量、复数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．或
A．
B．
C．
D．
A．4
B．
C．5
D．与有关
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
A．1
B．
C．
D．
A．
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的最大值为.
A．直三棱柱的体积是1
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
A．若，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则的面积为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
5
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
平面向量线性运算的坐标表示；相等向量
2
0.94
向量加法的法则
3
0.65
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
4
0.94
正弦定理解三角形
5
0.85
柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
6
0.65
已知数量积求模；平面向量数量积的几何意义
7
0.85
正、余弦定理判定三角形形状；用和、差角的正弦公式化简、求值；sin2x的降幂公式及应用
8
0.65
圆锥表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
二、多选题
9
0.65
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题；根据复数对应坐标的特点求参数
10
0.85
柱体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算
11
0.15
正弦定理求外接圆半径；求三角形中的边长或周长的最值或范围；三角恒等变换的化简问题；余弦定理解三角形
三、填空题
12
0.85
正棱台及其有关计算
13
0.65
距离测量问题；几何图形中的计算
14
0.4
向量与几何最值；与复数模相关的轨迹（图形）问题；数量积的运算律；已知模求数量积
四、解答题
15
0.85
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；已知复数的类型求参数；复数的除法运算
16
0.65
由直观图还原几何图形；求旋转体的体积；斜二测画法中有关量的计算；求组合旋转体的表面积
17
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
18
0.65
余弦定理解三角形；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；三角函数与解三角形综合
19
0.4
复数综合；求复数的模；复数的除法运算
序号
知识点
对应题号
1
平面向量
1,2,6,14
2
复数
3,9,14,15,19
3
三角函数与解三角形
4,7,11,13,17,18
4
空间向量与立体几何
5,8,10,12,16