湖南省娄底市冷水江市2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份湖南省娄底市冷水江市2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在实数2，-2，0，32中，最大的数是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．32
2．（3分）在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4B．2a•a＝3a2
C．（﹣2a2）3＝﹣2a6D．a2+a5＝a7
4．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝38°，那么∠2的度数为（ ）
A．132°B．130°C．128°D．125°
5．（3分）将关于x的分式方程2x-3x+4=0去分母可得（ ）
A．2（x+4）+3x＝0B．2（x+4）﹣3x＝0
C．2x+3（x+4）＝0D．2x﹣3（x+4）＝0
6．（3分）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
7．（3分）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B．乙同学第三轮投壶命中率最高
C．甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D．甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
8．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，作正五边形HKCDG，连接BK，则∠ABK的度数为（ ）
A．27°B．30°C．36°D．45°
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与双曲线y=kx(x＞0)交于点A，将直线l1沿y轴竖直向上平移2个单位长度得到直线l2：y＝x+b，直线l2与该双曲线交于点B，与y轴交于点C，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．6B．8C．169D．649
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，E，F分别为AD，BC边上的点，且BF＝3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A，B的对应点分别为点M，N（点M落在AD上方），连接CN，当C，N，M三点共线时，AE的长为（ ）
A．2B．43C．163D．1
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次根式2x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为 ．
13．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 ．
14．（3分）用圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，若AB＝2，则DE的长为 ．
16．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝ ．
17．（3分）如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱EF，GH垂直于地面，AD，BC是两根等长且紧绷的绳子，FG所在的直线为地面，已知∠DCB＝104°，HG＝2.34m，BC＝2m，AB∥CD，当秋千处于静止状态时，木板DC到地面的距离约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1（0，1），A2（2，0），过点A2作A2A3⊥A1A2交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4交y轴于点A5；…按此规律进行下去，则点A9的坐标为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～20题每题6分，第21～22题每题8分，第23～24题每题9分，第25～26题每题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）计算：(12)-2-|1-2|-4sin45°+3×6．
20．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）+（y﹣4）2+x（y﹣x），其中x=12，y＝2．
21．（8分）如图，在△ABC中，尺规作图步骤如下：①作∠BAC的平分线，交BC于点D；②作AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F．
（1）步骤①中作角平分线AD的作图依据是 ；
A．ASA
B．AAS
C．SAS
D．SSS
（2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）；
（3）连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形．
22．（8分）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进A，B两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
（1）该商场第一次用24400元购进了A，B两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
（2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进A款湘绣的数量不少于B款湘绣的23，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
23．（9分）湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在85≤x＜90这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 （填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
24．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，对角线AC是∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠AEB＝60°，BD＝22，求AC的长．
25．（10分）综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形ABCD中，AD＝AB＝3，DC＝BC＝4，∠D＝∠B＝90°，如图②，保持△ABC不动，将△ADC沿着AC方向向下平移，使得点A与AC边的中点A′重合，得到△A′DC′．
操作发现：
（1）连接CD，试猜想CD和CC′的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在图②的基础上，再将△A′DC′以点A′为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点A′，B，C′在同一条直线上（B在A′，C′中间），连接BD．试判断四边形AA′DB的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转△A′DC′，当A′D第一次恰好与AC垂直时停止旋转，设A′D与BC交于点E，A′C′与AB交于点F，延长CB交C′D于点H，连接A′H交AB于点G，求线段A′H的长．
26．（10分）已知抛物线Q1：y=x2-3x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点．
（1）求抛物线Q1的表达式；
（2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移32个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标．
2024-2025学年湖南省娄底市冷水江市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）在实数2，-2，0，32中，最大的数是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．32
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜32，
∴最大的数是：32．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（3分）在下列手机手势解锁的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
D、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a4B．2a•a＝3a2
C．（﹣2a2）3＝﹣2a6D．a2+a5＝a7
【分析】根据同底数幂的除法对A进行判断；
根据同底数幂的乘法对B进行判断；
根据积的乘方对C进行判断；
根据合并同类项对D进行判断．
【解答】解：A．a6÷a2＝a4，选项计算正确，正确符合题意；
B．2a•a＝2a2，选项计算错误，不符合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，选项计算错误，不符合题意；
D．a2，a5不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，掌握相应的运算法则是关键．
4．（3分）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝38°，那么∠2的度数为（ ）
A．132°B．130°C．128°D．125°
【分析】先由平行线的性质得到∠2＝∠3，再由三角形外角的性质求得∠3＝128°，即可求解．
【解答】解，如图，
∵AB∥CD，∠1＝38°，
∴∠2＝∠3，
∵∠3是△EFG的外角，
∴∠3＝90°+∠1＝90°+38°＝128°，
∴∠2＝128°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
5．（3分）将关于x的分式方程2x-3x+4=0去分母可得（ ）
A．2（x+4）+3x＝0B．2（x+4）﹣3x＝0
C．2x+3（x+4）＝0D．2x﹣3（x+4）＝0
【分析】将原分式方程两边同乘x（x+4），即可求出结果．
【解答】解：2x-3x+4=0，
原分式方程两边同乘x（x+4），
得2（x+4）﹣3x＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．
6．（3分）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=32，图象开口向上；根据二次函数离对称轴越远，函数值越大即可求解．
【解答】解：由题意得，抛物线对称轴为直线x=--3a2a=32，
由条件可知抛物线开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大，
∵点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），2-32＜32-0＜32-(-1)，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握该知识点是关键．
7．（3分）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏，为体验传统民俗，甲、乙两名同学进行投壶比赛，共投5轮，每轮有8支箭，如图是甲、乙两名同学投中个数折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学第二轮和第四轮投壶命中数相同
B．乙同学第三轮投壶命中率最高
C．甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学多
D．甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定
【分析】根据图中信息进行判断即可．
【解答】解：根据折线统计图中信息逐项分析判断如下：
甲同学第二轮和第四轮投壶都投中了4支，命中数相同，A正确，不符合题意；
乙同学第三轮投壶投中7支，投中次数最多，命中率最高，B正确，不符合题意；
甲同学五轮投壶命中总数为23．乙同学五轮投壶命中总数为26，甲同学这五轮投壶命中总数比乙同学少，C错误，符合题意；
观察折线统计图可知，甲同学五轮投壶命中的次数波动比乙同学五轮投壶命中的次数波动小，则甲同学的命中率比乙同学的命中率稳定，D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查折线统计图，方差的意义，熟练掌握折线统计图是解题的关键．
8．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，作正五边形HKCDG，连接BK，则∠ABK的度数为（ ）
A．27°B．30°C．36°D．45°
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形HKCDG中，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠HKC＝∠KCD＝108°，
∴∠BCK＝∠BCD﹣∠KCD＝120°﹣108°＝12°，∠BKC＝180°﹣∠CKH＝180°﹣108°＝72°，
∴∠CBK＝180°﹣∠BCK﹣∠BKG＝180°﹣12°﹣72°＝96°，
∠ABK＝∠ABC﹣∠CBK＝120°﹣96°＝24°，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形的内角与外角，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与双曲线y=kx(x＞0)交于点A，将直线l1沿y轴竖直向上平移2个单位长度得到直线l2：y＝x+b，直线l2与该双曲线交于点B，与y轴交于点C，若OA＝2BC，则k的值为（ ）
A．6B．8C．169D．649
【分析】根据一次函数图象平移规律得出直线l2的表达式为y＝x+2，从而求得点C（0，2），根据直线l1与直线l2的表达式得出两条直线和y轴所夹锐角均为45°，从而求得yA＝xA＝2xB，设A（2t，2t），则B（t，2+t），则k＝（2t）2＝t•（2+t），解之求得t值，继而求得k值即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
由直线l1与直线l2的表达式知，两条直线和y轴所夹锐角均为45°，
当OA＝2BC时，yA＝xA＝2xB，
设A（2t，2t），则B（t，2+t），
∴k＝（2t）2＝t•（2+t），
解得t=23或t＝0（舍去），
∴k=169．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象平移，一次函数图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，E，F分别为AD，BC边上的点，且BF＝3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A，B的对应点分别为点M，N（点M落在AD上方），连接CN，当C，N，M三点共线时，AE的长为（ ）
A．2B．43C．163D．1
【分析】如图，记MC与AD的交点为T，延长FN交AD于Q，结合BF＝FN＝3，则CF＝5，可得CN＝4，结合NQTQ=sin∠NTQ=sin∠NCF=FNFC=35，设NQ＝3x，则TQ＝5x，TN=QT2-NQ2=4x，可得TC＝4x+4，求解x=23，再进一步求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AD∥BC，
∵将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A，B的对应点分别为点M，N（点M落在AD上方），
∴BF＝NF＝3，∠MNF＝∠B＝90°，MN＝AB＝4，
∴∠FNC＝90°，
∴CF＝5，
如图，记MC与AD的交点为T，延长FN交AD于Q，
由勾股定理得：CN=52-32=4，
由对折可得：∠BFE＝∠QFE，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，∠DTC＝∠FCN，
∴∠QEF＝∠QFE，
∴QE＝QF，
∵∠MNF＝90°，
∴∠TNQ＝90°，
∴NQTQ=sin∠NTQ=sin∠NCF=FNFC=35，
设NQ＝3x，则TQ＝5x，TN=QT2-NQ2=4x，
∴TC＝4x+4，
∴sin∠DTC=35=CDCT=44x+4，
解得：x=23，
∴NQ=3×23=2，TQ=5×23=103，
∴EQ＝FQ＝3+2＝5，
同理：tan∠CTD=tan∠NCF=34，
∴CDDT=34，即4DT=34，
∴DT=163，
∴QD=TD-TQ=163-103=2，
∴AE＝AD﹣QE﹣DQ＝8﹣5﹣2＝1．
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线是解答本题的关键．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若二次根式2x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥32 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵2x﹣3≥0，
∴x≥32．
故答案为：x≥32．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为 1.179×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1179万＝11790000＝1.179×107．
故答案为：1.179×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”是唐代诗人张若虚《春江花月夜》中的名句，描绘了一幅幽美邈远的春江月夜图．将这句诗中的每个字分别写在背面完全相同的不同张卡片上，随机抽取1张卡片，则抽中“海”字卡片的概率为 17 ．
【分析】根据“春江潮水连海平，海上明月共潮生”中共有14个字，其中“海”字有2个，利用概率公式即可求出抽中“海”字卡片的概率．
【解答】解：∵共有14个字，其中“海”字有2个，
∴抽中“海”字卡片的概率为214=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
14．（3分）用圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为1，则圆锥的侧面积为 4π ．
【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得弧长为2π，根据弧长公式求出扇形的半径是r＝4，再根据圆锥的侧面积为扇形的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵底面圆半径为1，
∴底面圆的周长为2π×1＝2π，即扇形的弧长为2π，
设扇形的半径是r，则90πr180=2π，
∴r＝4，
∴扇形的面积为90π×42360=4π，
∴圆锥的侧面积为4π．
故答案为：4π．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，正确记忆修改知识点是解题关键．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，若AB＝2，则DE的长为 3 ．
【分析】因为△ABC是等边三角形，AB＝2，所以∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝2，因为BD⊥AC，可得∠BDC＝90°，∠CBD=12∠ABC=30°，CD=12AC=1，因为BD＝BC•cs∠CBD，可得BD的长，因为CE＝CD，所以∠CED＝∠CDE，因为2∠CED＝∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，可得∠CED＝30°＝∠CBD，即DE＝BD，可得DE的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，BD⊥AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝2，
∴∠BDC＝90°，∠CBD=12∠ABC=30°，CD=12AC=1，
∴BD=BC⋅cs∠CBD=3，
∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∵2∠CED＝∠CED+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝30°＝∠CBD，
∴DE=BD=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，关键是掌握等边三角形的性质以及余弦的定义．
16．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝ ﹣2 ．
【分析】由x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，可得1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1，又因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝m2﹣4n＝0，将n＝﹣m﹣1代入，求出m＝﹣2，再求出n＝1，则mn可求．
【解答】解：∵x2+mx+n＝0是“凤凰”方程，
∴1+m+n＝0，即n＝﹣m﹣1．
又∵方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
将n＝﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）＝0，
解得m＝﹣2，
∴n＝1，
∴mn＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了学生的阅读理解能力．
17．（3分）如图①是一个秋千简易图，将其抽象成如图②所示的示意图，已知两根完全相等的支柱EF，GH垂直于地面，AD，BC是两根等长且紧绷的绳子，FG所在的直线为地面，已知∠DCB＝104°，HG＝2.34m，BC＝2m，AB∥CD，当秋千处于静止状态时，木板DC到地面的距离约为 0.4 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【分析】过点C作CM⊥AB于点M，延长MC交FG于点N，由题意易得四边形EFGH是矩形，四边形EFNM是矩形，则有EF＝MN＝2.34m，然后根据三角函数可得CM＝BC•sin∠ABC＝2×0.97＝1.94m，进而问题可求解．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，延长MC交FG于点N，
由题意得：GH⊥FG，EF⊥FG，
∴EF∥GH，
∵HG＝2.34m，BC＝2m，AB∥CD，
∴EF＝GH＝2.34m，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴∠E＝90°＝∠EMN＝∠EFN，
∴四边形EFNM是矩形，
∴EF＝MN＝2.34m，
∵∠DCB＝104°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝76°，
∴CM＝BC•sin∠ABC＝2×0.97＝1.94（m），
∴CN＝MN﹣MC＝0.4m；
故答案为：0.4．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A1（0，1），A2（2，0），过点A2作A2A3⊥A1A2交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4交y轴于点A5；…按此规律进行下去，则点A9的坐标为 （0，256） ．
【分析】通过证明△A2OA3∽△A1OA2，得到OA2OA1=OA3OA2，得出OA3=OA22OA1=221=4=22，同理可得：OA4=OA32OA2=23，OA5=OA42OA3=24，得出OAn=2n-1，代入n＝9求出OA9的长，再根据坐标系得出点A9落在y轴的正半轴，即可求解．
【解答】解：由条件可知OA1＝1，OA2＝2，
∴∠A1A2A3＝90°，
∴∠A1A2O+∠A3A2O＝90°，
∵∠A2A3O+∠A3A2O＝90°，
∴∠A2A3O＝∠A1A2O，
又∵∠A2OA3＝∠A1OA2，
∴△A2OA3∽△A1OA2，
∴OA2OA1=OA3OA2，
∴OA3=OA22OA1=221=4；
同理可得：OA4=OA32OA2=422=8=23，OA5=OA42OA3=824=16=24，⋯，
∴依此类推，OAn=2n-1，
∴当n＝9时，OA9=29-1=256，
由坐标系可得，点A9落在y轴的正半轴，
∴点A9的坐标为（0，256）．
故答案为：（0，256）．
【点评】本题考查了点坐标的规律探索、相似三角形的性质与判定，根据点坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19～20题每题6分，第21～22题每题8分，第23～24题每题9分，第25～26题每题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）计算：(12)-2-|1-2|-4sin45°+3×6．
【分析】先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，二次根式乘法，代入特殊角的三角函数值，再计算加减即可．
【解答】解：(12)-2-|1-2|-4sin45°+3×6
=4-(2-1)-4×22+32
=4-2+1-22+32
＝5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
20．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）+（y﹣4）2+x（y﹣x），其中x=12，y＝2．
【分析】因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可
【解答】解：（x﹣y）（x+y）+（y﹣4）2+x（y﹣x）
＝x2﹣y2+y2﹣8y+16+xy﹣x2
＝xy﹣8y+16．
当x=12，y=2时，原式＝1﹣16+16＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，尺规作图步骤如下：①作∠BAC的平分线，交BC于点D；②作AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F．
（1）步骤①中作角平分线AD的作图依据是 D ；
A．ASA
B．AAS
C．SAS
D．SSS
（2）请将步骤②中的图形补充完整（保留作图痕迹）；
（3）连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法求解；
（2）根据尺规基本作图﹣作线段的垂直平分线作出图形即可；
（3）根据EF垂直平分线段AD，得EA＝ED，再证明四边形AEDF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图1，
由作图可知：AM＝AN，PM＝PN，
在△AMP和△ANP中，
AM=ANPM=PNAP=AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS），
∴∠MAP＝∠NAP，
即AD是∠BAC的平分线．
∴在所作图的步骤中①得到角平分线AD的依据是SSS；
故答案为：D；
（2）解：如图2，直线EF即为所求，
（3）证明：如图3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA，
∴∠EDA＝∠DAF，∠EAD＝∠ADF，
∴DE∥AF，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EA＝ED，
∴四边形AEDF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定．熟练掌握尺规基本作图和菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）湘绣作为中国四大名绣之一，凭借其国潮经典之韵，深受国内外消费者的喜爱．某商场计划购进A，B两款湘绣并出售，已知两款湘绣的进价和售价如下表：
（1）该商场第一次用24400元购进了A，B两款湘绣共20件，求两款湘绣分别购进多少件；
（2）该商场计划补货两款湘绣共30件，且购进A款湘绣的数量不少于B款湘绣的23，则应如何设计进货方案才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设购进A款湘绣x件，则购进B款湘绣（20﹣x）件，根据题意，列出非常，即可求解；
（2）设购进B款湘绣m件，则购进A款湘绣（30﹣m）件，根据题意，列出关于m的不等式，可求出m的取值范围，设利润为w元，根据题意，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答，即可求解．
【解答】解：（1）设A款湘绣购进x件，则B款湘绣购进（20﹣x）件，
由题意得：800x+1400（20﹣x）＝24400，
解得x＝6，
∴20﹣6＝14（件），
答：A款湘绣购进6件，B款湘绣购进14件；
（2）设B款湘绣购进m件，则A款湘绣购进（30﹣m）件，
∵购进A款湘绣数量不少于B款湘绣数量的23，
∴30-m≥23m，
解得m≤18，
设利润为w元，
由题意得：w＝（980﹣800）（30﹣m）+（1680﹣1400）m＝100m+5400，
∵100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝18时，w取最大值，最大值为100×18+5400＝7200（元），
∴30﹣18＝12（件），
答：购进A款湘绣12件，B款湘绣18件，才能使这次补货售完后获得最大利润，最大利润是7200元．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，根据题意得到数量关系是解题的关键．
23．（9分）湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果，校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，满分100分），过程如下：
【收集数据】
七年级抽取学生成绩在85≤x＜90这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89；
八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100；
【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下：
【分析数据】
两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是 抽样调查 （填写“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）填空：a＝ 6 ，b＝ 89 ，c＝ 95 ；
（3）样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数．
【分析】（1）根据抽样调查的定义判断即可；
（2）根据所给八年级的数据和中位数、众数的定义求解即可；
（3）根据中位数的意义判断即可；
（4）分别用总人数乘以样本中成绩不低于90分的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）根据八年级抽取学生的成绩可知a＝6，
七年级成绩的中位数b=89+892=89，
八年级成绩的众数c＝95；
故答案为：6，89，95；
（3）七年级学生甲排名谁更靠前，
理由：因为七年级的中位数为89分，八年级的中位数为91分，90＞89，所以七年级学生甲排名谁更靠前；
（4）200×2+720+200×4+720=200（人），
答：估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数为200人．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查、频数分布表、算术平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
24．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD为⊙O的直径，对角线AC是∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠AEB＝60°，BD＝22，求AC的长．
【分析】（1）连接OA，根据角平分线的定义，结合圆周角定理，推出∠AOB＝∠AOD＝90°，平行得到∠OAE＝∠AOD＝90°，即可得证；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，圆周角定理，角平分线得到∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，求出BC的长，证明△BCF是等腰直角三角形，求出CF，BF的长，在Rt△ABF中，求出AF的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可．
【解答】（1）证明：如解图，连接OA，
∵AC是∠BCD的平分线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴∠AOB＝∠AOD，
由条件可知∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵BD∥AE，
∴∠OAE＝∠AOD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，
由条件可知∠AEB＝∠CBD＝60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝30°，
∴BC=12BD=2，
由（1）得∠ACB＝∠ACD，
由条件可知∠ACB＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF＝BF＝BC•sin45°＝1，
∵∠BAC＝∠BDC＝30°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=AB2-BF2=22-12=3，
∴AC=AF+CF=3+1．
【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
25．（10分）综合与实践
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形ABCD中，AD＝AB＝3，DC＝BC＝4，∠D＝∠B＝90°，如图②，保持△ABC不动，将△ADC沿着AC方向向下平移，使得点A与AC边的中点A′重合，得到△A′DC′．
操作发现：
（1）连接CD，试猜想CD和CC′的数量关系，并说明理由；
（2）如图③，在图②的基础上，再将△A′DC′以点A′为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点A′，B，C′在同一条直线上（B在A′，C′中间），连接BD．试判断四边形AA′DB的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转△A′DC′，当A′D第一次恰好与AC垂直时停止旋转，设A′D与BC交于点E，A′C′与AB交于点F，延长CB交C′D于点H，连接A′H交AB于点G，求线段A′H的长．
【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．
（3）证明A′F是△ABC的中位线，tan∠AA'F=AFA'F=34，后利用正切函数，勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）CD＝CC′；理由如下：
如图②，连接CD，
∵A′是AC的中点，
在直角三角形ABC中，由勾股定理，得：AC=AB2+BC2=5，
∴AA'=A'C=52，
∵将△ADC沿着AC方向向下平移，使得点A与AC边的中点A′重合，得到△A′DC′，
∴AA′＝CC′，
∴CC'=52，
∴C为A′C′的中点，
又∵△A′DC′为直角三角形，
∴CD＝CC′；
（2）四边形AA′DB为平行四边形；
证明：由旋转的性质，得A′D＝AB，
在Rt△ABC中，A′是AC的中点，
∴AA′＝A′B，
∴∠A＝∠ABA′．
由题图①得△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠BA′D，
∴∠ABA′＝∠BA′D，
∴AB∥A′D，
∵A′D＝AB，
∴四边形AA′DB是平行四边形；
（3）∵A′D⊥AC，
∴∠DA′C＝90°，
∴∠A′EC+∠C＝90°．
∵∠A′EC＝∠DEH，∠EA′C＝∠EDH，
∴∠EHD＝∠C．
∵∠C＝∠C′，
∴A′C′∥CH，
∴∠AFA′＝∠ABC＝90°，∠AA′F＝∠C，
∵A′为AC的中点，
∴A′F是△ABC的中位线，
∴A'F=12BC=2，AF=12AB=32，
∴tan∠AA'F=AFA'F=34，
∵∠D＝∠EA′C＝90°，
∴C′D∥A′C，
∴∠EHD＝∠C，
∴tan∠EHD=tanC=tan∠AA'F=A'EA'C=34，
由（1）知，A'C=52，
则A'E=A'C⋅tanC=52×34=158，
∴DE=A'D-A'E=3-158=98，
∵tan∠EHD=EDDH，
∴DH=EDtan∠EHD=9834=32，
在Rt△A′HD中，由勾股定理得：A'H=A'D2+DH2=352．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平移的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数和勾股定理是解题的关键．
26．（10分）已知抛物线Q1：y=x2-3x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线Q1上一点．
（1）求抛物线Q1的表达式；
（2）如图，连接BC，交抛物线Q1的对称轴于点D，连接AC，CP，AD，DP，求四边形ACPD面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，将抛物线Q1向右平移32个单位长度，得到抛物线Q2，M为抛物线Q2对称轴上一点，N为抛物线Q2上一点，若以A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B、C坐标，进而求出直线BC的表达式为y＝x﹣4，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据S△ACD＝S△ABC﹣S△ABD求出S△ACD，设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4），再由S△CDP＝S△OEP﹣S△DEP，S四边形ACPD＝S△CDP+S△ACD，列出S四边形ACPD关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当AP为▱AMPN的对角线时，②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时，③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得1+3+c＝0，
解得c＝﹣4，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）在y＝x2﹣3x﹣4中标，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．
设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0），
由条件可得4k+b=0b=-4，
解得k=1b=-4，
∴直线BC的表达式为y＝x﹣4，
∵抛物线表达式为y=x2-3x-4=(x-32)2-254，
∴抛物线的对称轴为直线x=32，
在y＝x﹣4中，当x=32时，y=x-4=-52，
∴点D的坐标为(32，-52)，
∴S△ACD=S△ABC-S△ABD=12AB⋅|yC|-12AB⋅|yD|=12×[4-(-1)]×(4-52)=154．
如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E．
设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，m﹣4），
∴yE-yP=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m，xD-xC=32-0=32，
∴S△CDP=S△OEP-S△DEP=12(yE-yP)⋅(xD-xC)
=12×(-m2+4m)×32
=-34(m-2)2+3，
∴S四边形ACPD=S△CDP+S△ACD=-34(m-2)2+3+154=-34(m-2)2+274，
∵-34＜0，0＜m＜4，
∴当m＝2时，S四边形ACPD取最大值274，
当m＝2时，y＝m2﹣3m﹣4＝﹣6，
∴四边形ACPD面积的最大值为274，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）∵Q1：y=x2-3x-4=(x-32)2-254，
∴Q2：y=(x-32-32)2-254=x2-6x+114，
∴抛物线Q2的对称轴为直线x＝3，
∴点M的横坐标为3，
设N(n，n2-6n+114)，
由（2）得，P（2，﹣6），
分以下三种情况讨论：
①当AP为▱AMPN的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴-1+22=3+n2，
解得n＝﹣2，
∴n2-6n+114=754，
∴N(-2，754)；
②当AP为▱APMN的边，且AM为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+3＝2+n，
解得n＝0，
∴n2-6n+114=114，∴N(0，114)；
③当AP为▱APNM的边，且AN为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
∴﹣1+n＝2+3，
解得n＝6，
∴n2-6n+114=114，
∴N(6，114)．
综上所述，点N的坐标为(-2，754)或(0，114)或(6，114)．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
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价格
A款湘绣
B款湘绣
进价（元/件）
800
1400
售价（元/件）
980
1680
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
七年级
4
7
2
7
八年级
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
七年级
91
b
97
八年级
91
91
c
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
B
A
C
B
A
C
A
C
D
类别
价格
A款湘绣
B款湘绣
进价（元/件）
800
1400
售价（元/件）
980
1680
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
七年级
4
7
2
7
八年级
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
七年级
91
b
97
八年级
91
91
c