吉林省普通高中G6教考联盟2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省普通高中G6教考联盟2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小
B．若，则事件与是对立事件
C．当不互斥时，可由公式计算的概率
D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A．平均数为，极差为B．中位数为，众数为
C．平均数为，方差为D．平均数为，中位数为
8．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为B．的共轭复数为
C．D．
10．某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．若该校高一年级有学生2000人，则高一年级约有1200人乘坐公共交通工具上学
B．估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学
C．扇形图中的占比为
D．估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11．在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 .
13．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 .
14．某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为 ；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数是一元二次方程（）的根.
(1)求的值；
(2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.
16．已知是夹角为的两个单位向量，，（）.
(1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
(2)若垂直，求实数的值；
(3)求的最小值.
17．2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；
(2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．
18．已知在中，满足（其中分别是角的对边）.
(1)求角的大小；
(2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以
即，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选D.
2．【答案】C
【分析】根据方差的性质结合已知条件直接求解.
【详解】因为样本数据的方差为，
所以的方差.
故选C.
3．【答案】C
【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D.
【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误；
对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误；
对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确；
对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误.
故选C.
4．【答案】B
【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，
若，，则，
若，则存在，使得，因为，所以，又，所以，
所以无论如何，只要，，，就有，故B正确；
对于C，若，，，则或相交或异面，故C错误；
对于D，若，，，则或相交或异面，故D错误.
故选B.
5．【答案】D
【分析】作出组合体的轴截面，利用体积求出圆锥的高，然后再利用三角形相似即可求出内切球的半径，结合求得体积公式，即可求解.
【详解】
如图，圆锥与内切球的轴截面图，设圆锥高为h,
根据圆锥的底面半径为1，体积为，
可知，，解得，所以母线长为，
设内切球的半径为，则，
由轴截面三角形相似得，所以，
即，解得内切球半径为，
所以内切球的体积为，
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可
【详解】因为向量与向量夹角为，，
所以，
则在上的投影向量为
，
故选A.
7．【答案】D
【分析】举反例可以逐一判断A、B、C是错误的，逻辑推理即可判断D选项.
【详解】对于A，数据为2，4，5，5，6，A错误；
对于B，数据为3，3，4，5，6，B错误；
对于C，数据为1，2，2，4，6，C错误；
对于D，所有数据和为15，中位数为4，如果出现6，那么其余三个数的和为5，且其中有一个数至少为4，这组数据不可能，D正确；
故选D.
8．【答案】A
【分析】在中，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由题意可知取得最小值时，点为费马点，设，，，在中分别使用余弦定理，三式相加，再结合三角形面积公式化简可求出，从而可得答案.
【详解】由题可知，，在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，所以为直角三角形，
由定义可知取得最小值时，点为费马点，
设，，，且，，，，
在中分别使用余弦定理可得，
相加得
由三角形面积得，即，
所以，
所以
，
所以的最小值为
故选A.
9．【答案】AD
【分析】复数化简为，再依次判断即可．
【详解】解：，
则的虚部为，A项正确；
的共轭复数为，
而，故B项错误；
，故C项错误；
，故D项正确；
故选AD.
10．【答案】ABD
【分析】由条形图及扇形图的特点求解即可．
【详解】因为C为乘坐公交的调查人数为60，所占比例为25%，
所以调查的总人数为，
对于A选项：，所以A选项正确，
对于B选项：，所以B选项正确，
对于C选项：，所以C选项错误，
对于D选项：，所以D选项正确.
故选ABD.
11．【答案】AD
【分析】构造正方体模型，即可判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而判断C，构造正方体模型，求出外接球半径，然后计算得到球心到截面的距离，然后结合勾股定理即可求解D选项.
【详解】
对于A，如图，将几何体补为正方体，易知，，又，所以，故A正确；
对于B，如图，将几何体补为正方体，当动点M运动到点B时，此时直线与所成角最小，为，但此时直线与相交，不满足异面；
当动点M由点B向点C运动时，直线与所成角慢慢变大，当动点M运动到点C时，此时直线与所成角最大，易知 是等边三角形，所以直线与所成的角为，而，即此时直线与所成角为；所以，异面直线与所成角的取值范围为，故B错误；
对于C，如图，将平面与平面展为同一平面，则
，故C错误
对于D，如图，补为正方体，三棱柱外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径，即，
，所以
所以，
取正方体的中心点O，的中点N，连接ON，易知，
所以，设正方体的中心点O到截面的距离为h，
即球心到截面的距离为，根据勾股定理可得截面圆半径为，
所以截面面积为，故D正确.
故选AD
12．【答案】10
【分析】根据直观图与原图形的关系结合已知可得，从而可求出，进而可求出四边形的周长.
【详解】由题意可得，
所以原图形中，
所以，
所以四边形的周长为.
故答案为：10.
13．【答案】
【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解.
【详解】由题可知且与不共线，即，得.
故答案为：.
14．【答案】18 84
【分析】第一空，根据分层抽样的定义即可求解；第二空，根据分层抽样的方差公式即可求解
【详解】由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为60×30%=18；
总样本平均值，
总样本方差为
.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】根据是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程组求解即可；
（2）求出，根据复数为纯虚数求出即可求出.
【详解】（1）因为是一元二次方程的根，
所以也是一元二次方程的根，
故，解得；
（2）因为复数为纯虚数，
所以，且，
即，所以复数，
故.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量作为基底的条件：不共线非零向量，即可得解；
（2）利用向量的数量积为0建立方程，即可得解；
（3）平方后得到关于的二次函数，利用函数的性质即可求最值.
【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
（2）因为垂直，所以，
即，
又，，
所以，解得.
（3）由（2）知，，
因为，
所以，当时，取得最小值3，
所以的最小值为.
17．【答案】(1)，19.2吨；
(2)．
【分析】(1)先根据频率分布直方图概率和为1求出m,再根据百分位数求解即可；
(2)列举法应用古典概型求解.
【详解】(1)由
解得．
，
（吨）．
(2)根据题意得，月平均用水量在第一组居民有（户），
月平均用水量在第二组居民有（户），
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有，
，共15个
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：
共7个．
根据古典概型可得，．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合两角和差公式，以及内角和定理，诱导公式即可得解；
（2）通过等面积法即可求得值，然后结合余弦定理即可求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，从而得解；
（3）利用正弦定理，将转化为角的关系式，然后利用锐角三角形求出角的范围，结合三角函数知识即可求出取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
，
所以，又，
即，且，即.
（2）由等面积法：，
即，即，
由余弦定理得，
，则，
设外接圆半径为，则，，
则外接圆的面积为.
（3）由为锐角三角形可得，得，
则，
由，得，
又，
所以，
则.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；
（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.
【详解】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.