黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（ ）
A．3B．－1C．1或－3D．－1或3
4．已知实数，，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数有2个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下结论正确的是（ ）
A．函数最小值为4B．函数值域为
C．函数值域为D．函数值域为
10．的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的（ ）
A．展开式的所有项系数和为1B．展开式中含项的系数为128
C．第5项和第6项的二项式系数相等D．展开式中常数项是第6项
11．已知函数满足对任意，有，且，且当时，有，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的定义域是 .
13．初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为 .（用数字作答）
14．甲、乙二人进行羽毛球比赛，共比赛5局，采用5局3胜制.已知每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的局数，则的期望的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用于冬装衣服.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
(1)根据等高堆积条形图，完成如下列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关：
(2)定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率和的值.
附：，其中.
16．已知函数，
(1)解关于的不等式；
(2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下：
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明与线性相关性的强弱（结果精确到0.001；已知，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱）
(2)求关于的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
(3)截止2023年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A类60%、B类40%，现从该地区所有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取10个，再从抽取的10个充电桩中不放回地随机抽取2个，若表示抽到的A类充电桩的数量，求的分布列和数学期望.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考数据：，，，.
18．根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009），级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布.
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
= 1 \* GB3 ①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
= 2 \* GB3 ②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记为这1000件产品中“优质品”的件数，当为多少件时可能性最大（即概率最大）？
参考数据：，， .
19．已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，且，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选C.
2．【答案】B
【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即可得解
【详解】由，解得，
由且，解得，
故，充分性不成立；，必要性成立
故是成立的必要不充分条件
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质即得.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或3；
又因为在上单调递增，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，故．
故选A．
4．【答案】D
【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D.
【详解】对于A，取，得，A错误；
对于B，，则，B错误；
对于C，，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选D.
5．【答案】C
【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】因为函数恒为递增函数，所以若要在上单调递增，
则，解得，
故选.
6．【答案】B
【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案.
【详解】的定义域为，，
因为有2个极值点，所以方程在上有2个不相等的实数根，
所以，解得.
故选B.
7．【答案】D
【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为；
若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为；
若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为；
故.
故选D.
8．【答案】B
【分析】构造函数，先判断函数的对称性，再将所求转化为，再利用导数判断函数的单调性，再根据单调性解不等式即可.
【详解】令，
则，
所以函数关于对称，由，得，
即，因为函数关于对称，所以，
则，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以函数在上单调递增，则，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选B.
9．【答案】BCD
【分析】举例说明判断A；变形函数借助单调性求出值域判断B；变形配方，结合二次函数求出值域判断C；利用指数函数值域，结合不等式性质判断D.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，，则在上单调递增，，B正确；
对于C，，
而，当时，，则原函数值域为，C正确；
对于D，，则，因此函数值域为，D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABD
【分析】利用二项式系数的性质求出，并求出展开式的通项，再逐项判断即可得解.
【详解】依题意，，解得，
二项式展开式的通项，
对于A，当时，得展开式的所有项系数和为，A错误；
对于B，由，即，得，展开式中含项的系数为，B错误；
对于C，展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，C正确；
对于D，由，即，得展开式中常数项是第7项，D错误.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【分析】对于A，可直接根据已知得到结论；对于B，先证明，然后利用等比数列求和公式即可；对于C，先证明对有，然后利用已知即可；对于D，由结合已知条件即可验证.
【详解】对于A，由已知有，，解得，故A正确；
对于B，由于，，故，，所以由可知，对任意正整数，有.
所以，故B错误；
对于C，由于，，，故.
所以对，有，即.
这就表明，故，.
得，从而，故C正确；
对于D，由，知.
从而，得，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】根据函数有意义列不等式组求解即可.
【详解】函数的定义域为
，所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．【答案】48
【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可．
【详解】依题意，均为不超过6的自然数，
最大数为6的情况：，此时共有个有序数组；
最大数为5的情况：，此时共有个有序数组；
最大数为4的情况：，此时共有个有序数组；
当最大数为3时，，不满足题意，
由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是.
故答案为：48.
14．【答案】
【分析】先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望，再结合基本不等式即可得解.
【详解】由题意得的所有可能取值为，
则，
，
，
所以，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)列联表见解析，有关；(2)，.
【分析】（1）借助堆积等高条形图可得列联表，再计算出卡方即可得解.
（2）利用堆积等高条形图，结合古典概率求出条件概率.
【详解】（1）由堆积等高条形图得列联表：
零假设：试验结果与材料无关，
根据列联表中数据，得，
依据小概率值的独立性检验，推断假设不成立，
即试验结果与材料有关，此推断犯错误的概率不超过0.005.
（2）依题意，，
所以；
，
所以.
16．【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）分类讨论解析一元二次不等式.
（2）把代入，并等价变形不等式，再分段分离参数，借助对勾函数单调性求出最值即可求解.
【详解】（1）函数，不等式，
当时，解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，若，则；
若，则或；若，则或，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）当时，函数，不等式，
依题意，，不等式，当时，成立，，
当时，恒成立，而函数在上单调递减，
因此，则；
当时，恒成立，而函数在上单调递减，
因此，则，
所以实数的取值范围是.
17．【答案】(1)，与的线性相关性很强；
(2)，约为157.25万辆；
(3)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）利用给定的数据求出相关系数，即可判断得解.
（2）利用最小二乘法公式求出线性回归方程，再估计数据即可.
（3）求出10个充电桩中A类、B类的充电桩数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望.
【详解】（1）依题意，，
而，，，
因此，
由与有相关系数近似为，得与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，
，关于的线性回归方程为，
当时，，
所以当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量约为157.25万辆.
（3）依题意，抽取的10个充电桩中，A类充电桩有6个，B类充电桩有4个，
的可能值为，
，，，
所以的分布列为：
数学期望.
18．【答案】(1)答案见解析
(2) = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②
【分析】（1）利用正态分布和原则即可求解；
（2） = 1 \* GB3 ①利用正态分布即可求出概率； = 2 \* GB3 ②利用独立重复试验得到不等式组，即可解出的值.
【详解】（1）由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布，，则，
由原则可知，生产的产品中滤烟效率在以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产.
（2） = 1 \* GB3 ①令为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为
；
= 2 \* GB3 ②依题意得，记，
要使可能性最大，
则需，
即，所以，即，
所以，所以当为978件时可能性最大.
19．【答案】(1)递减区间是，递增区间是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间.
（2）等价变形不等式并分离参数，构造函数，再利用导数求出此函数的最大值即得.
（3）求出的范围，由函数零点的意义可得，两式相减并令，求得，再构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证.
【详解】（1）当时，函数，求导得，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）不等式，令，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，因此，则，所以的取值范围是.
（3）由，得，由（2）知，是直线与函数图象的两个交点的横坐标，而，当时，恒成立，因此有两个零点时，，由两边取对数得，于是，
则，整理得，
令，由，得，即有，
则，解得，由，得，
因此，令，求导得，
令，求导得，即在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递增，，
于是，所以.材料
材料
合计
试验成功（单位：次）
试验失败（单位：次）
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量/万台
1
3
5
7
9
新能源汽车年销量/万辆
25
37
48
58
72
材料
材料
合计
试验成功（单位：次）
80
60
140
试验失败（单位：次）
20
40
60
合计
100
100
200
0
1
2