黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023~2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

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考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分.
考试时间为 120 分钟.
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择使用 0.5 米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清
楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，非答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题
卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 命题“ ， ”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递增，则 （ ）
A. 3 B. －1 C. 1 或－3 D. －1 或 3
4. 已知实数 ， ，下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
6. 函数 有 2 个极值点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知甲盒中有 2 个白球，2 个红球，1 个黑球，乙盒中有 4 个白球，3 个红球，2 个黑球，现从甲盒中随
机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件 A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不
同”，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下结论正确 是（ ）
A. 函数 最小值为 4 B. 函数 值域为
C. 函数 值域为 D. 函数 值域为
10. 的展开式中各二项式系数和为 512，下列结论错误的（ ）
A. 展开式的所有项系数和为 1 B. 展开式中含 项的系数为 128
C. 第 5 项和第 6 项的二项式系数相等 D. 展开式中常数项是第 6 项
11. 已知函数 满足对任意 ，有 ，且 ，且当
时，有 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 函数 的定义域是__________.
13. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任
意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数 .设 ，其
中 ， ， ， 均为自然数，则满足条件的有序数组 的个数为__________.（用数字作答）
14. 甲、乙二人进行羽毛球比赛，共比赛 5 局，采用 5 局 3 胜制.已知每局比赛中甲获胜的概率为 ，乙获
胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立，记 为比赛结束时的局数，则 的期望 的最
大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用
于冬装衣服.现在有 材料、 材料可供选择，研究人员对附着在 材料、 材料上的石墨烯各做了 100 次
再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.
（1）根据等高堆积条形图，完成如下 列联表，并依据小概率值 独立性检验，分析试验结
果与材料是否有关：
材料 材料 合计
试验成功（单位：次）
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试验失败（单位：次）
合计
（2）定义分类变量 ， 如下： ， ，以频率估计概率，求条件概率
和 的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0 005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知函数 ，
（1）解关于 的不等式 ；
（2）当 时，若对于 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，
但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区
2019-2023 年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
充电桩数量 /万台 1 3 5 7 9
新能源汽车年销量
25 37 48 58 72 /万辆
（1）已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用样本相关系数 加以说明 与 线性相关性的强弱（结
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果精确到 0.001；已知 ，则认为线性相关性很强； ，则认为线性相关性一般；
，则认为线性相关性较弱）
（2）求 关于 的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为 24 万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
（3）截止至 2023 年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A 类 60%、B 类 40%，现从该地区所
有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取 10 个，再从抽取的 10 个充电桩中不放回地随机抽取 2 个，若 表
示抽到的 A 类充电桩的数量，求 的分布列和数学期望.
参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公
式分别为 ， .
参考数据： ， ， ， .
18. 根据中华人民共和国国家标准（GB 2890-2009）， 级防毒面具中综合过滤件 滤烟效率需要达到不低
于 95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布 .
（1）某质检员随机从生产线抽检 10 件产品，测量出一只产品的滤烟效率为 93.0%.他立即要求停止生产，
检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
（2）该工厂将滤烟效率达到 95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了 1000 件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记 为这 1000 件产品中“优质品”的件数，
当 为多少件时可能性最大（即概率最大）？
参考数据： ， ，
.
19. 已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
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（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）若 有两个零点 ，且 ，求证： .
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