黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（含答案）

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考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.4D. 0.6
3. 若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ）
A. 12B. 15C. 20D. 30
4. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界主塔名为“冰灯启梦”．景观以雪花托举的“山”字为意象，是对冰雪童话世界的诗意呼应，更是借山之坚韧与巍峨，隐喻生态与发展共生共荣的永恒力量．冰雪大世界现招募志愿者，从哈三中的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ）
A. 102种B. 105种C. 210种D. 288种
6. 圆与圆相交，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆的周长与该圆的直径具有相关关系
B. 当两个变量相关且样本相关系数时，表明两个变量正相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y是否有关联，经计算，可以推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过0.05
10. 已知抛物线的焦点为F，过F作直线l与C相交于A，B两点，则（ ）
A. 焦点F与C的准线的距离为1
B. 的最小值为2
C. 存在直线l，使得
D. 若，则的最小值为
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的面积为1
B. 若，，则
C. 若，则的最小值为25
D. 若，则最大值为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 三条直线，，相交于一点，则__________．
13. 已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________．
14. 已知，，动点P满足，O为坐标原点，则最小值为__________；过点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，则面积的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点．
（1）求双曲线C标准方程；
（2）若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积．
16. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有6折、7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．
（1）在一位顾客结账时按照6折结算的条件下，求该顾客抽到的2张奖券的折扣不同的概率；
（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望．
17. 自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）.
（1）若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）.
（2）若用作为回归模型，
①求的值；
②已知该模型下决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
附：（1）上表中；
（2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数.
18. 已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N．
①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值．
19. 一个动圆Q与圆外切，与圆内切，设圆心Q的轨迹为曲线C，过点作斜率为k的直线l交曲线C于A，B两点．
（1）求曲线C方程；
（2）在y轴上求异于的点P，使得对于任意的直线l，都有；
（3）设，分别为曲线C的上、下顶点，直线与直线交于点M，若曲线C在点A处的切线交y轴于点N，试判断直线AB与直线MN的交点H是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规模
1.5
2.5
3.4
49
7.8
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4