2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈(0,+∞)，lnx=x−1”的否定是( )
A. ∃x∈(0,+∞)，lnx≠x−1B. ∃x∉(0,+∞)，lnx=x−1
C. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−1D. ∀x∉(0,+∞)，lnx=x−1
2.已知x∈R，则“x2−3x+2≤0”是“2x−3x−1≤1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)=(m2−2m−2)⋅xm2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. 3B. −1C. 1或−3D. −1或3
4.已知实数a>b>1，c∈R，下列关系正确的是( )
A. ac2>bc2B. ba>2ba+b
C. ab<2aa+bD. a+1− a< b− b−1
5.函数fx=−x2−2ax+1,x<1ex+lnx,x≥1在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. −1,+∞B. −∞,−1C. −e2,−1D. −e2,−1
6.函数fx=alnx−1x+2x有2个极值点，则a的取值范围是( )
A. −∞,−2 2∪2 2,+∞B. −∞,−2 2
C. 2 2,+∞D. −2 2,2 2
7.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球.记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则P(A)=( )
A. 712B. 2945C. 2150D. 2950
8.已知函数fx=ex−1−e1−x+sinx−1+1，则不等式fx+f1−2x>2的解集为( )
A. −∞,1B. −∞,−1C. 1,+∞D. −1,+∞
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结论正确的是( )
A. 函数f(x)=sinx+4sinx最小值为4
B. 函数y=x−22x+1x≥1值域为[−13,12)
C. 函数y=2x+ 1−x值域为(−∞,178]
D. 函数f(x)=12x+1值域为(0,1)
10.(x2−2x)n的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的( )
A. 展开式的所有项系数和为1B. 展开式中含1x3项的系数为128
C. 第5项和第6项的二项式系数相等D. 展开式中常数项是第6项
11.已知函数fx满足对任意x∈0,1，有fx+f1−x=2，且fx=2fx6，且当0≤x1≤x2≤1时，有fx1≤fx2，则下列说法中正确的是( )
A. f17=23B. ni=1 f((16)i)=2−(12)n
C. f120=2f1200D. 116≤f12024≤112
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx=3x 3−x+lnx−2的定义域是 ．
13.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数6=22+12+12+02.设38=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组a,b,c,d的个数为 .(用数字作答)
14.甲、乙二人进行羽毛球比赛，共比赛5局，采用5局3胜制.已知每局比赛中甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为ba+b=1，且每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的局数，则X的期望EX的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从石墨中通过化学气相沉积法分离出石墨烯，升华后附着在材料上再结晶制成石墨烯发热膜，广泛应用于冬装衣服.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨烯各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，完成如下2×2列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关：
(2)定义分类变量X，Y如下：X=0,试验成功1,试验失败,Y=0,A材料1,B材料，以频率估计概率，求条件概率PX=1|Y=0和PY=0|X=0的值．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax2−ax−x+1，
(1)解关于x的不等式f(x)>0；
(2)当a=1时，若对于∀x∈[−1,1]不等式f(x)>−3+mx恒成立，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
近年来，很多国产新能源汽车迅速崛起，因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，但充电难的问题影响新能源汽车销量，国家为加快其普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019−2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如下：
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数r加以说明y与x线性相关性的强弱(结果精确到0.001；已知0.75(2)求y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
(3)截止2023年年底，该地区新能源汽车充电桩个数占比情况为：A类60%、B类40%，现从该地区所有充电桩中，采用分层抽样的方式抽取10个，再从抽取的10个充电桩中不放回地随机抽取2个，若X表示抽到的A类充电桩的数量，求X的分布列和数学期望．
参考公式：相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2i=1nyi−y2，回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
参考数据：i=15xi−x2=40，i=15yi−y2=1326，i=15xiyi=1430， 53040≈230.3041．
18.(本小题17分)
根据中华人民共和国国家标准(GB 2890−2009)，P1级防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准，某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N0.97,8.1×10−5．
(1)某质检员随机从生产线抽检10件产品，测量出一只产品的滤烟效率为93.0%.他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”．
①求该生产线生产的一件综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1000件这种综合过滤件，且每件产品相互独立，记X为这1000件产品中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大(即概率最大)？
参考数据：Pμ−σ19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xex−ae3x+2ex，x∈R．
(1)若a=0，求函数y=f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；
(3)若f(x)有两个零点x1,x2，且ex2−x1> 2，求证：x1+x2>32ln2−4．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.D
8.B
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.2,3
13.48
14.338
15.解：(1)由堆积等高条形图得2×2列联表：
零假设H0：试验结果与材料无关，
根据列联表中数据，得χ2=200(80×40−20×60)2140×60×100×100=20021≈9.524>7.879=x0.005，
依据小概率值α=0.005的独立性检验，推断假设不成立，
即试验结果与材料有关，此推断犯错误的概率不超过0.005．
(2)依题意，n(Y=0)=100,n(X=1,Y=0)=20，
所以P(X=1|Y=0)=n(X=1,Y=0)n(Y=0)=20100=15；
n(X=0)=140,n(Y=0,X=0)=80，
所以P(Y=0|X=0)=n(Y=0,X=0)n(X=0)=80140=47．

16.解：(1)函数f(x)=ax2−ax−x+1，不等式f(x)>0⇔(ax−1)(x−1)>0，
当a=0时，解得x<1；
当a<0时，不等式化为(x−1a)(x−1)<0，解得1a当a>0时，不等式化为(x−1a)(x−1)>0，若a=1，则x≠1；
若01a；若a>1，则x<1a或x>1，
所以当a<0时，原不等式的解集为(1a,1)；当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)；
当01时，原不等式的解集为(−∞,1a)∪(1,+∞)．
(2)当a=1时，函数f(x)=x2−2x+1，不等式f(x)>−3+mx⇔(m+2)x依题意，∀x∈[−1,1]，不等式(m+2)x当0因此ymin=1+41−2=3，则m<3；
当−1≤x<0时，m>x+4x−2恒成立，而函数y=x+4x−2在[−1,0)上单调递减，
因此ymax=−1+4−1−2=−7，则m>−7，
所以实数m的取值范围是−7
17.解：(1)依题意，x=1+3+5+7+95=5,y=25+37+48+58+725=48，
而i=15xi−x2=40，i=15yi−y2=1326，i=15xiyi=1430，
因此r=i=15xiyi−5xy i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=1430−5×5×48 40×1326=230 53040≈230230.3041≈0.999，
由y与x有相关系数近似为0.999>0.75，得y与x的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)由(1)知，b=i=15xiyi−5xyi=15(xi−x)2=1430−5×5×4840=5.75，
a=y−bx=48−5.75×5=19.25，y关于x的线性回归方程为y=5.75x+19.25，
当x=24时，y=5.75×24+19.25=157.25，
所以当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量约为157.25万辆．
(3)依题意，抽取的10个充电桩中，A类充电桩有6个，B类充电桩有4个，
X的可能值为0,1,2，
P(X=0)=C42C102=215，P(X=1)=C41C61C102=815，P(X=3)=C62C102=13，
所以X的分布列为：
数学期望E(X)=0×215+1×815+2×13=65．

18.解：(1)由已知过滤件的 滤烟效率服从正态分布N0.97,8.1×10−5，σ2=8.1×10−5=9×10−32⇒σ=9×10−3=0.009，则0.93<0.97−0.009×3=0.943，
由3σ原则可知，生产的产品中滤烟效率在3σ以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产．
(2)①令Y为“综合过滤件滤烟效率”，则一件过滤件为“优质品”的概率为
P(Y>0.952)=P(Y>0.97−2×0.009)=1−12−P(0.97−2σ②依题意得X∼B1000,0.97725，记n=1000,P=0.97725，
PX=k=CnkPk1−Pn−kk=0,1,2,⋯,103要使可能性最大，
则需CnkPk1−Pn−k≥Cnk−1Pk−11−Pn−k+1CnkPk1−Pn−k≥Cnk+1Pk+11−Pn−k−1,
即Pk≥1−P1001−k1−P1000−k≥Pk+1，所以1001P−1≤k≤1001P，即977.23≤k≤978.23，
所以k=978，
所以当X为978件时可能性最大．

19.解：(1)当a=0时，函数f(x)=xex+2ex，求导得f′(x)=(x+3)ex，
当x<−3时，f′(x)<0，当x>−3时，f′(x)>0，即f(x)在(−∞,−3)上递减，在(−3,+∞)上递增，
所以函数f(x)的递减区间是(−∞,−3)，递增区间是(−3,+∞)．
(2)不等式f(x)≤0⇔xex−ae3x+2ex≤0⇔a≥(x+2)e−2x，令g(x)=(x+2)e−2x，
求导得g′(x)=−(2x+3)e−2x，当x<−32时，g′(x)>0，当x>−32时，g′(x)<0，
即函数g(x)在(−∞,−32)上递增，在(−32,+∞)上递减，因此g(x)max=g(−32)=e32，则a≥e32，
所以a的取值范围是a≥e32．
(3)由f(x)=0，得a=(x+2)e−2x，由(2)知，x1,x2是直线y=a与函数y=g(x)图象的两个交点的横坐标，
而g(−2)=0，当x>−2时，g(x)>0恒成立，因此f(x)有两个零点x1,x2时，0由x+2=ae2x两边取对数得ln(x+2)=lna+2x，于是ln(x1+2)=lna+2x1ln(x2+2)=lna+2x2,
则ln(x2+2)−ln(x1+2)=2(x2−x1)，整理得(x2+2)−(x1+2)=12lnx2+2x1+2，
令x2+2x1+2=t，由ex2−x1> 2，得x2−x1>12ln2，即有(x2+2)−(x1+2)>12ln2，
则12lnt>12ln2，解得t>2，由x2+2=t(x1+2)(x2+2)−(x1+2)=12lnt，得x1+2=lnt2(t−1)x2+2=tlnt2(t−1),
因此x1+2+x2+2=(t+1)lnt2(t−1)，令ℎ(t)=(t+1)lnt2(t−1),t>2，求导得ℎ′(t)=t−1t−2lnt2(t−1)2，
令φ(t)=t−1t−2lnt,t>1，求导得φ′(t)=1+1t2−2t=(1−1t)2>0，即φ(t)在(1,+∞)上单调递增，
当t>2时，φ(t)>φ(2)>φ(1)=0，即ℎ′(t)>0，函数ℎ(t)在(2,+∞)上单调递增，ℎ(t)>ℎ(2)=32ln2，
于是x1+2+x2+2>32ln2，所以x1+x2>32ln2−4．
A材料
B材料
合计
试验成功(单位：次)
试验失败(单位：次)
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10 828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量x/万台
1
3
5
7
9
新能源汽车年销量y/万辆
25
37
48
58
72
A材料
B材料
合计
试验成功(单位：次)
80
60
140
试验失败(单位：次)
20
40
60
合计
100
100
200
X
0
1
2
P
215
815
13