西藏拉萨市高中期末联考2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份西藏拉萨市高中期末联考2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
2．已知角终边上一点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是3：2，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则参加体检的人数是（ ）
A．120B．360C．240D．300
4．若是任意实数，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，某市5月1日到10日日均值（单位：）变化的折线图，则该组数据的第54百分位数为（ ）
A．45B．48C．60D．80
6．已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，分别为内角的对边，且，则角等于（ ）
A．B．C．D．
8．在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（ ）
A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”
C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”
D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是，，
B．函数的对称中心为
C．函数的的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
11．已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量的一个单位向量是
B．若，则
C．设函数，则的最大值为2
D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 ．
13．若，则 ．
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则该弧田的面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数.
(1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值；
(2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围．
16．已知的内角所对的边分别为，.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求边．
17．已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为 . 求:
(1)甲乙都研发成功的概率；
(2)疫苗A研发成功的概率；
(3)疫苗A与疫苗B均研发成功的概率；
(4)仅有一款疫苗研发成功的概率.
18．已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴；
(2)求的单调递增区间；
(3)当时，求的最大值和最小值.
19．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求a，b的值；
(2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则和复数模的定义，即可求出．
【详解】复数z满足，则，
所以.
故选B.
2．【答案】A
【分析】根据三角函数定义进行求解
【详解】由三角函数定义可得.
故选A.
3．【答案】D
【分析】设出参加体检的员工中营销部门与研发部门的人数，由分层抽样得比例关系，结合题意建立方程组求解，两部门体检人数再相加可得.
【详解】设参加体检的员工中营销部门的人数为，研发部门的人数为，
因为采用分层抽样的方法，则①；
参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多60，则②，
联立①②解得，故参加体检的人数共.
故选D.
4．【答案】C
【分析】由诱导公式化简可得．
【详解】由三角函数诱导公式得
．
故选C．
5．【答案】A
【分析】先将各数据从小到大排列，再根据求百分位数的步骤可得.
【详解】5月1日到10日日均值从小到大依次，
由于，故第个数据即为第百分位数，
故选A．
6．【答案】C
【分析】利用已知可得，利用投影向量的定义可求在上的投影向量.
【详解】由题意可得，
由，可得，解得，
所以在上的投影向量为.
故选C.
7．【答案】D
【分析】利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求角.
【详解】由，结合正弦定理可得，
所以，由余弦定理可得，
又，所以.
故选D.
8．【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】因为，所以，
所以.
故选D.
9．【答案】AB
【分析】对于A，判断两个事件是否可以同时发生，从而判断是否为互斥事件，接下来判断是否为对立事件；对于BCD，利用与A相同的方法进行分析，从而解答题目.
【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球，1个白球”“1个红球，2个白球”“3个白球”.
对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确；
对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件，
但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确；
对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件，
其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误；
对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生，
故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误.
故选AB.
10．【答案】BC
【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为，故A正确；B项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与比较可得.
【详解】根据图象可得，周期，
又，则，所以，
因为，所以 ，则，
解得，因为，则，
所以函数的解析式为，
A项，函数的最小正周期是，，都正确，故A正确；
B项，由，解得，.
得函数的对称中心为，，故B错误；
C项，由函数的图象向右平移个单位长度得到，
即，并非函数，故C错误；
D项，由函数的图象向右平移个单位长度得到，
即，故D正确.
故选BC.
11．【答案】ACD
【分析】A项，即向量的一个单位向量；B项，由向量垂直得数量积为，根据坐标表示可求解，验证是否满足即可；C项，数量积运算可得，根据整体角的范围与正弦函数的图象可得最值；D项，将投影向量用两种坐标表示建立方程，求解两向量夹角即可.
【详解】A项，若，则，，
则是向量的一个单位向量，故A正确；
B项，因为，，，
若，则，
则，代入，
得，则，
当时，则，
这与矛盾，故B错误；
C项，函数，
因为，则，
所以当，即时，函数最大值为，故C正确；
D项，由，得，即
则有，则,
则，与方向相同的单位向量，且，
设与的夹角为，则在上的投影向量，
又因为在上的投影向量为，即，
所以，即，由两向量夹角，
则，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【分析】由向量共线条件的坐标表示求解可得.
【详解】由已知，
，，解得.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】由，解得，
所以.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.
【详解】
法一：如图，过作，垂足为，
已知， ，
则，
依题意，等腰底边，
高，
则的面积为，
因为，
即的面积为.
而扇形的面积为，
则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为.
法二： 已知， ，
由三角形面积公式可得
的面积为，以下过程同法一.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)化简得，结合已知可得，求解即可；
(2)由题意可得，求解即可.
【详解】(1)，
则，解得；
(2)因为复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，
所以复数在复平面内的对应点在第四象限
于是得，
，
所以实数m的取值范围是.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由余弦定理先化角为边，再化边为角即可求；
(2)由(1)结论与三角形面积公式可得，再根据余弦定理求即可．
【详解】(1)由两边同乘以可得，
由余弦定理可得代入上式得，，
即，又由余弦定理可得，
所以有，
则，因为是三角形内角，
所以；
(2)由于，所以，
在中，，由于的面积为，
所以，
即，解得，
故，
解得.
17．【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式计算；
(2)结合对立事件的概率关系计算；
(3)由相互独立事件同时发生的概率公式计算；
(4)由相互独立事件和互斥事件的概率公式计算.
【详解】(1)用分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，
由题知都相互独立，，， ，
则：，同理可得：，，
相互独立，根据概率公式有：，
即甲乙都研发成功的概率为；
(2)由概率的性质可得：设“疫苗A研发成功”为A事件，则，
即疫苗A研发成功的概率为；
(3)设“疫苗B研发成功”为B事件， ，
两疫苗A，B的研发相互独立，则，
即疫苗A与疫苗B均研发成功的概率；
(4)，
仅有一款疫苗研发成功为事件，
.
即仅有一款疫苗研发成功的概率为.
18．【答案】(1)最小正周期，对称轴为；
(2)；
(3)最大值为2，最小值为1.
【分析】(1)由周期公式可得周期，将看作整体角，令，求解即可得对称轴；
(2)由，解的范围可得单调增区间；
(3)当时，求出整体角的范围，转化为正弦函数在的最值求解即可.
【详解】(1)的最小正周期.
由，
得函数的对称轴为，.
(2)由，
得
所以函数的单调递增区间为
(3)由，得
所以，当，即时，
当，即时，
所以，函数的最大值为2，最小值为1.
19．【答案】(1)，；
(2)众数75，中位数70.5，平均数70.2；
(3)80；37.5.
【分析】(1)由前两组频数关系得频率关系解可得，由各组频率之和为求；
(2)由最高小矩形底边矩形中点作为众数的估计值，利用中位数左右的直方图面积相等求解中位数，用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数；
(3)根据平均数和方差的计算公式求出结果.
【详解】(1)由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得，
又，解得，
所以，；
(2)由题知，估计众数为=75；
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
因此中位数落在区间内，
设中位数为m，则，解得．
由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04，
各组区间中点值分别为55，65，75，85，95，
所以平均数的近似值为，
故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为；
(3)由，得：．
又，
所以：，
剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
所以
即：
方差：.
故剩余8个分数的平均数为，方差为.