初中信息技术函数随堂练习题

这是一份初中信息技术函数随堂练习题，共7页。试卷主要包含了下列求导数的运算中错误的是，令x＝0，得y＝9等内容，欢迎下载使用。
（测试卷08）
测试时间：120分钟 满分：150分
选择题（每小题5分，共60分）（每小题有四个选项，只有一个正确）
1.下列求导数的运算中错误的是( )
A.(3x)′＝3xln 3 B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(xsin x－cs x,x2) D.(sin x·cs x)′＝cs 2x
【答案】 C
【解析】 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x)))′＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，C项错误.
2.曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.－9 B.－3 C.9 D.15
【答案】 C
【解析】 因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.
3.已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于( )
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
【答案】 B
【解析】 f′(x)＝2 018＋ln x＋x×eq \f(1,x)＝2 019＋ln x.
由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，则ln x0＝0，解得x0＝1.
4.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln eq \f(1,x)，则f(1)＝( )
A.－e B.2 C.－2 D.e
【答案】 B
【解析】 由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq \f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.
5.已知曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，则切点的横坐标为( )
A.3 B.2C.1 D.eq \f(1,2)
【答案】A
【解析】设切点的横坐标为x0(x0>0)，
∵曲线y＝eq \f(x2,4)－3ln x的一条切线的斜率为eq \f(1,2)，
∴y′＝eq \f(x,2)－eq \f(3,x)，即eq \f(x0,2)－eq \f(3,x0)＝eq \f(1,2)，
解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.
6.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq \f(1,x).
因为x＞0，所以2－eq \f(1,x)＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).
7.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A.(0，0) B.(1，－1)
C.(－1，1) D.(1，－1)或(－1，1)
【答案】D
【解析】由f(x)＝x3＋ax2，得f′(x)＝3x2＋2ax.
根据题意可得f′(x0)＝－1，f(x0)＝－x0，
可列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(3,0)＋axeq \\al(2,0)＝－x0， ①,3xeq \\al(2,0)＋2ax0＝－1， ②))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝1，,a＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,a＝2.))
当x0＝1时，f(x0)＝－1，
当x0＝－1时，f(x0)＝1.
∴点P的坐标为(1，－1)或(－1，1).
8.函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)＝( )
A.7 B.4 C.0 D.－4
【答案】 A
【解析】 ∵f(x)＝x－g(x)，∴f′(x)＝1－g′(x)，又由题意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7.
9.已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝( )
A.eq \f(e－1,e) B.eq \f(2e－1,e) C.eq \f(e－1,2e) D.eq \f(2e－1,2e)
【答案】 B
【解析】 ∵y′＝aex＋1，∴在点(1，ae＋1)处的切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝eq \f(2e－1,e).
10.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
【答案】 D
【解析】 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A，C；
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
11.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为( )
A.ln 2 B.1
C.1－ln 2 D.1＋ln 2
【答案】 D
【解析】 由y＝xln x得y′＝ln x＋1，设切点为(x0，y0)，则k＝ln x0＋1，∵切点(x0，y0)(x0>0)既在曲线y＝xln x上又在直线y＝kx－2上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0－2，,y0＝x0ln x0，))∴kx0－2＝x0ln x0，∴k＝ln x0＋eq \f(2,x0)，则ln x0＋eq \f(2,x0)＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln 2＋1.
12.设函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝( )
A.1 B.0 C.－1 D.－2
【答案】 D
【解析】 由题意可得，f(a)＝a＋eq \f(1,a)＋b，f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，所以f′(a)＝1－eq \f(1,a2)，故切线方程是y－a－eq \f(1,a)－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))(x－a)，将(0，0)代入得－a－eq \f(1,a)－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a2)))(－a)，故b＝－eq \f(2,a)，故ab＝－2.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
【答案】 1
【解析】 f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－eq \f(1,x)，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1.
14.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.
【答案】 －eq \f(9,4)
【解析】 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq \f(1,x)，
所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq \f(1,2)＝3f′(2)＋eq \f(9,2)，
所以f′(2)＝－eq \f(9,4).
15.已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________________.
【答案】 6x－y－5＝0
【解析】 由题意，知f(2)＝2×2－1＝3，∴g(2)＝4＋3＝7，
∵g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，∴g′(2)＝2×2＋2＝6，
∴曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.
16.定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.
定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)＝x3－eq \f(3,2)x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________.
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【解析】 因为f(x)＝x3－eq \f(3,2)x2＋1，因为f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得x>eq \f(1,2)，故x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
三、解答题 （6大题，共70分）
17．（12分）求下列函数的导数．
(1)y＝(1－eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,\r(x))))；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝eq \f(cs x,ex).
【解析】(1)∵y＝(1－eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,\r(x))))＝eq \f(1,\r(x))－eq \r(x)＝x－x，
∴y′＝(x)′－(x)′＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2)x.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝tan x＋x·eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)
＝tan x＋eq \f(x,cs2x).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,ex)))′＝eq \f(cs x′ex－cs xex′,ex2)＝－eq \f(sin x＋cs x,ex).
18．（12分）已知点M是曲线y＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
【解析】(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝eq \f(5,3)，
∴斜率最小时的切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))，斜率k＝－1，
∴切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
故α的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
19．（12分）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝b＝0，f′0＝－aa＋2＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
所以a≠－eq \f(1,2).
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
20.（12分）已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
【解析】 h(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2－2x，x>0.
∴h′(x)＝eq \f(1,x)－ax－2.
(1)若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，
则当x>0时，eq \f(1,x)－ax－2eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)有解.
设G(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)，所以只要a>G(x)min.
又G(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up12(2)－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，
∴当x∈[1，4]时，h′(x)＝eq \f(1,x)－ax－2≤0恒成立，
则a≥eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)恒成立，设G(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)，
所以a≥G(x)max.
又G(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up12(2)－1，x∈[1，4]，
因为x∈[1，4]，所以eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
所以G(x)max＝－eq \f(7,16)(此时x＝4)，所以a≥－eq \f(7,16).
又当a＝－eq \f(7,16)时，h′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(7,16)x－2＝eq \f(（7x－4）（x－4）,16x)，
∵x∈[1，4]，∴h′(x)＝eq \f(（7x－4）（x－4）,16x)≤0，
当且仅当x＝4时等号成立.
∴h(x)在[1，4]上为减函数.
故实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,16)，＋∞)).
21.(12分)设函数f(x)=x2ex.
(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围.
【解析】1)因为f′(x)=x2ex+2xex,
所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).切线方程为3ex-y-2e=0.
(2)令f′(x)>0,即x(x+2)ex>0,
得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调
递减.
(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.
当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,
须2a+1≥fmin(x),即2a+1≥0,故a≥-12.
故a的取值范围为[-12,+∞).
22. （12分）已知函数.
（1）求曲线上任意一点切线的斜率的取值范围；
（2）当满足什么条件时，在区间为增函数.
【解析】
试题解析：（1）直线在点的切线斜率，
令，则，，
当时，，t=1时，，∴.
（2），得，
∴在是增函数，又在上单调递增，
∴.