湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共13页。
1.已知t∈R，a=(1,2)，b=(3,t)，若a//b，则t的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.已知复数z满足z1+i=6+4i，则z的虚部是( )
A. −1B. −iC. 1D. i
3.已知向量a在向量b上的投影向量为12b，且|a|=|b|=1，则a−2b的值为( )
A. 1B. 32C. 34D. 3
4.已知正四面体的表面积为4 3，则它的体积为( )
A. 3B. 2 23C. 2D. 2
5.在▵ABC中，A=60°，b=1，其面积为 3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于( )
A. 3 3B. 26 33C. 2 393D. 292
6.已知正三棱锥P−ABC，PA=3 2，AB=6，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. 27 6πB. 81 3πC. 27 2πD. 81 2π
7.如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB,∠D=45°,AB=2，BC=2 2,AD=6，现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为( )
A. 16 2+16πB. 28 2+4π
C. 36 2+36πD. 36 2+40π
8.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，▵ABC的面积为S，S=12b2−c2sinA，1tanA+1tanC=2tanB，则A=( )
A. 120∘B. 135∘C. 150∘D. 165∘
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z=5+i1+i，则下列说法正确的是( )
A. z=13
B. z的虚部为−2
C. z在复平面内对应的点在第四象限
D. z的共轭复数为−3−2i
10.已知圆锥的高为1，母线长为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为π
B. 圆锥侧面展开图的圆心角大小为 3π
C. 圆锥截面SAB面积的最大值为 3
D. 若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为323π
11.已知▵ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c=2，则下列结论正确的有( )
A. ▵ABC面积的最大值为 3
B. bcsA+acsB= 2
C. ▵ABC周长的最大值为6
D. csBcsA的取值范围为−∞, 32∪ 3,+∞
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
13.已知O为▵ABC所在平面内一点，且点P满足， AP·AC=AC，则sin∠BAC= ．
14.复数z1，z2满足，|z2−2|=1，则z1−z2的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共67分。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,−1)，b=(0,1)．
(1)求向量a与b的夹角θ的大小；
(2)若向量c=(x,y)满足c=−ya+(1−x)b，求c的值．
16.(本小题15分)
已知▵ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足bsinB−asinA=c(sinC+sinA)，AD=tAC，E是BC的中点．
(1)求B；
(2)若AB=1，BC=2，BD⊥AE，求t的值．
17.(本小题15分)
在某湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中CD:BC=1:2，BD=100米，∠A=π3．
(1)要使得花卉观赏区的观赏步道的总长度最大，AD、AB的长度分别是多少？
(2)求烧烤区占地面积的最大值．
18.(本小题17分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知▵ABC的面积为 3，D为BC中点，且AD=1．
(1)若∠ADC=π3，求tanB；
(2)若b2+c2=8，求b,c．
19.(本小题17分)
如图，设▵ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcsB=asinA−bsinB+14bsinC,cs∠BAD= 217．
(1)求b边的长度；
(2)求▵ABC的面积；
(3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且▵AEF的面积为▵ABC面积的一半，求AG→⋅EF→的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为t∈R，a=(1,2)，b=(3,t)，且a//b，则．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：因为z1+i=6+4i，则，
因此，复数z的虚部为−1．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：设向量a与向量b的夹角为θ，因为|a|=|b|=1，
所以向量a在向量b上的投影向量为，则csθ=12，
所以
．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：设正四面体A−BCD的棱长为a，
则该正四面体的表面积为4×12×a2×sinπ3= 3a2=4 3，可得a=2，
将正四面体A−BCD补成正方体AB1CD1−A1BC1D，则该正方体为棱长为 22a= 2，
因此正四面体A−BCD的体积为VA−BCD= 23−4VB−AB1C=2 2−4×13×12× 22× 2=2 23．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知，S=12bcsinA，即 3=12csin60°，解得c=4，
由余弦定理得，即a= 13，
由正弦定理为三角形外接圆半径)，可得：
．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：正三棱锥P−ABC，PA=3 2，AB=6，则PA2+PB2=36=AB2，即PA⊥PB，
因此正三棱锥P−ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直，
以线段PA,PB,PC为棱的正方体的外接球即为正三棱锥P−ABC的外接球，
该球的直径为 3PA=3 6，半径R=3 62，
所以该三棱锥的外接球的体积．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：在圆内接四边形ABCD中，∠DAB=90°，
所以BD是四边形ABCD外接圆的直径，所以∠DCB=90°，则∠ABC=135°，
延长AB，过C作CE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥AD，垂足为F，
则∠CBE=45°，所以三角形BCE是等腰直角三角形，
所以BE=CE=2，
由于CE//AF,AE//CF，∠DAB=90°，所以四边形AECF是矩形，AF=CE=2，
在等腰直角三角形CDF中，DF=CF=AE=4，
所以AD=6,CD=4 2，
将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体是圆台挖掉一个圆锥，
其表面积为．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，正弦定理及变形，逆用两角和与差的正弦公式，利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．
由面积公式得到b=2c，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到sin2B=2sinAsinCcsB，利用正弦定理将角化边得到b2=2accsB，由余弦定理得到7c2=a2，最后利用余弦定理计算可得．
【解答】
解：
因为S=12bcsinA，又S=12b2−c2sinA，
所以12bcsinA=12b2−c2sinA，
又0∘0，所以b=2c，
因为1tan A+1tan C=cs Asin A+cs Csin C
=sin Ccs A+sin Acs Csin Asin C=sin (A+C)sin Asin C
=sin Bsin Asin C，
又2tanB=2csBsinB，
所以sinBsinAsinC=2csBsinB，
所以sin2B=2sinAsinCcsB，
由正弦定理可得b2=2accsB，
又由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即b2=a2+c2−b2，
所以4c2=a2+c2−4c2，则7c2=a2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4c2+c2−7c24c2=−12，
又0∘