黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2024−2025学年高一下学期第二次月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，角所对边分别为，且，（ ）
A．B．或C．D．或
2．已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．使复数为纯虚数的最小自然数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，向量满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．是纯虚数B．对应的点位于第二象限
C．D．
10．已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，则的面积为
D．若，且有两解，则的取值范围是
11．某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（ ）
A．该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B．若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为
C．若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D．若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
三、填空题
12．已知一个圆台的上下底面半径分别为和，且它的侧面展开图扇环的面积为，则这个圆台的体积为 ．
13．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为 .
14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于 .
四、解答题
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求A；
（2）若，求的面积.
16．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求与平面所成的角；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17．如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作．
(1)求码头B和甲船位置E处相距多少海里．
(2)若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间，
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，证明：；
（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．
19．在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
（3）若，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积.
故选C.

3．【答案】C
【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误；
对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误；
对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确；
对于D中，由，，则或，当时，由，则或与异面；当时，由，则或与相交，所以D错误．
故选C.
4．【答案】C
【详解】因为，，
因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.
故选C.
5．【答案】A
【详解】
光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积，
圆台的上、下底面，令，，设，，则
∴，∴，
则，
所以圆锥的侧面积和为.
故选A.
6．【答案】A
【详解】由题意可得：，
因为，则，
当且仅当反向时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选A.
7．【答案】D
【详解】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选D
8．【答案】C
【详解】如图，因为的最小正周期，所以，
又，，
所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，解得（负值已舍去），
所以，又，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故选C.
9．【答案】AD
【详解】对于A，，实部为0，是纯虚数，正确；
对于B，，在复平面上对应点，在第四象限，错误；
对C，，错误；
对于D，，正确；
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】选项A：中，若，
即，所以由正弦定理得，
又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确；
选项B：因为是锐角三角形，所以，所以，
又，所以，，
又因为在单调递增，所以，B正确；
选项C：中，若，则由正弦定理得，解得，
所以或，
若，则，的面积，
若，则，的面积，C错误；
选项D：如图所示，
若有两解，则，
所以，故，D正确；
故选ABD
11．【答案】CD
【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得，
，所以圆锥的高，
设圆锥的母线与底面所成角，则，故A错误；

对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为，
则有，
所以圆柱体积为，
设，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减，
所以时y取得最大值，即时圆柱体积取得最大，此时圆柱的高，故B错误.

对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图，
因为,
又，所以，
正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球，

当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为，
所以外接球直径为，所以外接球半径为，
所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C正确；
对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下，

则有，
所以正方体面的对角线长为，
所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示，

所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2），

由上，，
所以，
所以，，
所以交线的总长度为. ，故D正确.
故选CD.
12．【答案】
【详解】设圆台的母线长为，则该圆台的侧面积为，解得，
取该圆台的轴截面等腰梯形，如下图所示：
分别过点、作、，
因为，，，
所以，，所以，，
因为，，，
所以，四边形为矩形，则，，
所以，，
所以，该圆台的高为，故该圆台的体积为.
13．【答案】
【详解】由已知得，
在中，
因为，
即，所以，
所以两点间的距离为m.
在中，
因为，
所以，
又因为，
，
所以.
14．【答案】/
【详解】点D为AC边的中点，，
则，即，
因为，所以，
由知，角C为锐角，故，
因为，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，
所以.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，则即为，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由正弦定理可得，则，
可得，即，
由（1）可得，则，
即，可得，
所以的面积.
16．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点，
所以，又因为，且，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，平面，因为平面，
则有，又平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，
所以是正三角形，所以平分，所以，
所以与平面所成的角为.
（2）猜测当点为的中点时， 平面，
证明如下：
取的中点，连接，
在中，分别为的中点，
所以且，又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
所以当点为的中点时，平面，此时.
17．【答案】(1)；
(2)小时.
【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得.
（2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，结合已知即可求得结果.
【详解】（1）由题意知，
在中，，
由余弦定理得
，
所以.
（2）由题意，
在中， 由正弦定理得，即 ,
所以（舍去）
所以，
又，
在中， ，
由余弦定理得
，
所以，
所以甲接到信号后行至F，用时为小时，
在中， ,，
由正弦定理得，即，解得：，
所以， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时，
所以自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）如图：

因为侧面，平面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又，平面，
所以平面.
因为侧面，所以，
因为，且，平面，
所以平面.
（2）因为底面为正方形，所以,
又因为平面，平面,
所以平面.
又平面，平面平面,
所以.
（3）如图：
由题为等边三角形，， 故为中点，
在线段上取点，使得，
因为是正方形，所以，
又， 所以，
又因为底面，底面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，
不妨设等边的边长为2，
则，，
所以在中，.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以，
又由，
可得，
解得，即，所以为的外心，
由正弦定理有，所以；
（2）因为，所以，且，
，
因为，解得，
则，则，所以，
所以，
所以；
（3）如图所示：取的中点，连接，则，
所以，
同理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以，，
即，所以，①
，即，
所以，②
联立①②可得，
所以，，
又因为，
因为，所以，可得，
可得，当且仅当等号成立，
令，，
函数，令，
，
因为，所以，
可得，所以在上单调递增，
所以，
所以．