2022省哈尔滨宾县一中校高二上学期第一次月考数学试题含答案

宾县一高2020级高二上学期第一次月考

数 学 试 卷

                                            2021.10.18

一选择题（每题5分）

1.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）

A.     B.                 C.     D.

2在平行六面体中, 且,求的长(    )

A．               B．         C．      D．

3.过直线和的交点，且与垂直的直线方程是(      )

A. B. C. D.

4.设，，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是(      )

A.    B.       C.        D.

5.在三棱锥中,底面ABC,,,,则点C到平面PAB的距离是(      )
A. B. C. D.

6.已知四边形ABCD中,,, ,若平面ABCD,且,则点P到直线BC的距离为(      )
A. B. C. D.5

7.已知函数（，且）恒过定点A.若直线过点A，其中m、n是正实数，则的最小值是(     )

A. B. C. D.5

8若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是(      )

A. B. C. D.

9如图，在正方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是(   )
A. B. 

C. D.

10．在平面直角坐标系中，和是圆上的两点，且，点，则的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

11．（多选）下列结论不正确的是（    ）

A．若直线和的斜率相等，则

B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

C．直线的倾斜角的取值范围是

D．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

12．（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是(       )

A．圆上的点到原点的最大距离为 

B．圆上存在三个点到直线的距离为 

C．若点在圆上，则的最小值是 

D．若圆与圆有公共点，则，

二填空题（每题5分）

13若直线与互相平行，则的值为_____________；14若过点与的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围___________

15过点作圆的两条切线，切点分别是A，B，则直线AB的方程为___________.

16如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则的面积的取值范围是___________.

三解答题（写出必要的文字说明和解题步骤）

17．（10分）已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．

（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

18．（12分）已知圆C过两点，且圆心C在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线与圆C相交于M，N两点，求弦的长度

19、（12分）如图，在多面体ABCDE中，平面ABC，点D到平面ABC的距离为2，是正三角形，，.

（1）证明：；

（2）求直线CE与平面BED所成角的正弦值.

20、（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为，求四棱锥的体积.

21、（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，．

(1)证明：；

(2)求平面与平面夹角的正弦值；

(3)设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长．

22、（12分）在平面直角坐标系中,已知圆C:,平面内两定点,当圆C的半径取最小值时:

(1).求出此时的值,并写出圆C的标准方程.

(2).在轴上是否存在异于点的另外一个点,使得对于圆C上任意一点,总有为定值?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明你的理由;

(3).在第2问的条件下,求的取值范围。

参考答案

一选择题1 C  2 D  3 D  4 A  5 B 6 C 7B 8C 9B  10A 11ABD 12  BD

二填空题 13   1                 14  (-3，1)

15  2x+2y-7=0          16

17   （1）依题意得，a+1≠0．

令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=．

∵直线l在两坐标轴上的截距相等，

∴a-2=，化简，得a(a-2)=0，

解得a=0或a=2．

因此，直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0．

（2）直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0．

令解得因此直线l过定点A(1，-3)．

由题意得，OA⊥l时，O点到直线l的距离最大．

因此，kl==，∴直线l的方程为y+3=(x-1)，即x-3y-10=0．

18 

（1）根据题意，设圆的圆心为，半径为，则圆方程为，

又由圆过，两点，且圆心在直线上，

则有，解可得，，，

所以圆的方程为；

（2）由（1）知圆的圆心，半径为4，

所以点到直线的距离，

所以．

19、（1）证明：如图，取BC的中点O，连接AO，DO.

，，且，DO就是点D到平面ABC的距离，即平面ABC，

平面ABC，，

又，四边形AODE是平行四边形，，

是正三角形，，.

（2）解：由（1）得平面BCD，

以OB为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面BED的法向量为，，

，，

则由，得，令，得，

设直线CE与平面BED所成角为，则，

故直线CE与平面BED所成角的正弦值.

20、（1）设点为的中点，连接，，为的中点，为的中位线，且，

又，且，且，

且，四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面.

（2）以A为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，.

设，则，，.

设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，，

又平面的一个法向量为，

平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为，

，

解得：（舍）或，

，，直角梯形的面积，.

21、证明：平面，平面，，

，，、平面，平面，

又平面，．

（2）解：过点A作于，连接，由（1）知，平面，

即为平面与平面所成的角．

在中，，，，，

在中，，，

故平面与平面夹角的正弦值为．

（3）解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，1，，，0，，，0，，，，，，，，异面直线与所成的角为，

，，解得或（舍负），．

22、(1).圆C的标准方程为:,当时的半径取最小值,此时圆C的标准方程为;
(2).设,定点 (为常数),则.

∵,∴,代入上式,  得:

.

由于取值与无关,∴ (舍去).

此时点的坐标为, 即;
(3).由上问可知对于圆C上任意一点总有,

故, 

 而 (当三点共线时取等号), 又,故

.∴ 

,

令,则,根据函数的单调性可得: