河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一球体的表面积为，该球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A．B．2C．3D．
5．已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．4B．C．D．
6．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
8．函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．
C．是函数的一条对称轴D．是函数的对称中心
二、多选题
9．正方体中，与棱异面的棱有（ ）
A．B．C．D．
10．已知复数，则（ ）
A．
B．
C．为纯虚数
D．在复平面内对应的点位于第四象限
11．若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 .
13．在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为 .
14．已知单位向量，满足，则与的夹角为 ．
四、解答题
15．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
16．（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
17．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
19．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数的零点为，求．
参考答案
1．【答案】B
【详解】设球体半径为，则该球的表面积为，可得，
因此，该球的体积为.
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心，
所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误；
与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误；
与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确；
与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误.
故选C.
3．【答案】D
【详解】由，可得，
所以.
故选D．
4．【答案】C
【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，
过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为，，
所以，
由得.
故选B
6．【答案】B
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为，
因为的图象关于原点对称，所以，解得，
因为，所以.
故选B.
7．【答案】A
【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，
则，，
所以.
故选A．
8．【答案】B
【详解】对于A，由图可知，得，所以，得，所以A正确，
对于B，由选项可知，由图可知的图象过点，
所以，所以，得，
因为，所以，所以B错误，
对于C，由的图象可知是函数的一条对称轴，所以C正确，
对于D，由选项AB的解析可知，由，
得，所以是函数的对称中心，所以D正确.
故选B
9．【答案】CD
【详解】如图，我们作出符合题意的正方体，

由正方体的性质得与棱异面的棱有，，，，共4条，
而本题中符合题意的有和，故C，D正确.
故选CD
10．【答案】ABD
【详解】，
，A正确；
，B正确；
不是纯虚数，C错误；
在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A ：因为，所以，解得，故A正确；
对于B：因为，解得或，故B错误；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：
或，故D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】如图所示，连接，过点作，垂足分别为，
因为，可得，所以，
在，
在直角中，由，可得，
即正四棱台的高为，
又由正四棱台上、下底面面积分别为，
所以正四棱台的体积为：.

13．【答案】
【详解】由，得对应的复数为对应复数的差，即可求解.
【详解】对应的复数分别是，
对应的复数为.
14．【答案】
【详解】由单位向量，满足，得，
即，则，所以与的夹角为．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设是的中点，连接.
因为是边长为6的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积.
（2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以.
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积.
16．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
17．【答案】（1）表面积，体积
（2）体积，表面积
【详解】（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
圆锥侧面积，
圆锥的底面积，
圆锥的表面积；
圆锥的体积为．
（2）由（1）可得：圆锥的体积为
又圆柱的底面半径为，高（母线）为
圆柱的体积为
剩下几何体的体积为；
由（1）得圆锥的表面积；
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意及正弦定理知，
，，，．
（2）由得，
由余弦定理得得，
，，
的周长为．
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1）得，
因为函数的零点为，所以.