河北省衡水市阜城县实验中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份河北省衡水市阜城县实验中学2024-2025学年高二下学期5月月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为（ ）
A．48种B．36种C．24种D．12种
2．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有
A．种B．种C．种D．种
3．函数在处取得极值10，则（ ）
A．5B．C．0D．0或
4．已知是函数的导函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为，则实数的值是（ ）
A．1B．C．D．2
6．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（ ）
A．0.48B．0.52C．0.56D．0.65
7．的展开式的常数项为（ ）
A．B．C．D．
8．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的取值为1，2，3B．
C．D．
11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
三、填空题
12．将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为 ．
13．设随机变量的分布列为，，其中为常数，则 ．
14．某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占，高二60人中女生占，则从中抽取1人恰好是女生的概率为 ．
四、解答题
15．有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法?
（1）至少有名女运动员；
（2）队长中至少有人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
16．已知在的展开式中，第项为常数项.
（1）求
（2）求含的项的系数与该项的二项式系数；
（3）求展开式中所有的有理项.
17．已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
19．甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.
（1）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；
（2）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望.
参考答案
1．【答案】C
【详解】（捆绑法）爸爸排法有种，两个小孩排在一起看成一体，有种排法，
妈妈和孩子共有种排法，
∴排法种数共有 （种）方法.
故选C
2．【答案】D
【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：，
应选答案：D．
3．【答案】B
【详解】函数，求导得，
由在处取得极值10，得，解得或，
当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意；
当时，得，
当或时，；当时，，
因此是函数的极小值点，符合题意，所以.
故选B
4．【答案】A
【详解】由可得，
故，解得，
故选A
5．【答案】A
【详解】展开式中所有二项式系数之和是，故，
的展开式的通项为：，
取得到常数项为：，解得.
故选A.
6．【答案】B
【详解】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件，
依题意，，，，，
由全概率公式得，.
故选B
7．【答案】A
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式的项为或，
令时，，
令时，，
所以的展开式的常数项为，
故选A.
8．【答案】B
【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对任意实数x有
，
所以，故A正确；
令，可得，故B不正确；
令，可得，故C正确；
令，可得，故D正确．
故选ACD．
10．【答案】CD
【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；
则，，故B错误，C正确；
又，，
所以．故D正确．
故选CD．
11．【答案】BCD
【详解】由题意，得，
故在，上是增函数，
在上是减函数，作出其大致图象如图所示，
令，得或
则结合图象可知，
解得.又，
所以，可以取.
故选BCD
12．【答案】120
【详解】解：依题意可得不同的分法种数为．
13．【答案】
【详解】因为．故，
所以．
14．【答案】
【详解】用分别表示取的一人是来自高一和高二，表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：,且,
所以
15．【答案】（1）246
（2）196
（3）191
【详解】（1）解法一：至少有名女运动员包括以下几种情况: 女男， 女男， 女男， 女男.
由分类加法计数原理可得共有种选法.
解法二：“至少有名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”，
可用间接法求解.从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.
故“至少有名女运动员”的选法有 （种）.
（2）解法一：可分类求解:“只有男队长”的选法有种；“只有女队长”的选法有种；
“男、女队长都入选”的选法有种， 故共有种选法.
解法二：间接法:从人中任选人，有种选法，其中不选队长的方法有种，
故“至少有1名队长”的选法有 （种）.
（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；
当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，
因此，不选女队长时的选法共有种.
故既有队长又有女运动员的选法共有 （种）.
16．【答案】（1）10
（2），45
（3），，
【详解】（1）的展开式的通项为，
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）令，得，
所以含的项的系数为.
该项的二项式系数为.
（3）根据通项公式与题意得，令，
则，即，，所以应为偶数.又，
所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项，
它们分别为，，，即，，.
17．【答案】（1）-2；（2）-1094；（3）1093；（4）2187.
【详解】利用赋值法，分别将，，代入二项展开式中，求出部分项的系数之和，得出①②③式；
（1）由②-①，即可得的值；
（2）由(②-③)，即可得的值；
（3）由(②+③)，即可得的值；
（4）根据二项展开式的通项得到展开式中每项系数的符号，然后去掉绝对值并结合（2）和（3）中的结果求解即可．
【详解】解：令则①；
令则②；
令则③；
（1）②-①得：；
（2）(②-③)得：；
（3）(②+③)得：；
（4）由展开式可知均为负值，均为正值，
则.
18．【答案】（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）.
【详解】（1）由题意，得 (x>0)，
因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以，即，解得，
则，则，令，则或，所以和时，，单调递减，时，，则单调递增，故函数在x＝2处取得极大值，故符合题意，因为；
（2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意在时恒成立，即在时恒成立，则在时恒成立，即，
当时，取最小值，
所以a的取值范围是.
（3）当时，，
即.
设，
则，令，或，
当变化时，的变化情况如下表：
所以g(x)极小值＝g（2）＝ln2－b－2，
g(x)极大值＝g（1）＝－b－，
又g（4）＝2ln2－b－2，
因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
则，解得ln2－2