广西壮族自治区河池市十校协作体2024−2025学年高一下学期第一次联考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区河池市十校协作体2024−2025学年高一下学期第一次联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．在三角形中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．
C．D．
4．底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．28B．58C．56D．
5．已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6．长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．z的模为
B．复数z的虚部等于
C．
D．z对应复平面内的点在第三象限
10．设向量，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则
B．的最小值为
C．与垂直的单位向量可为
D．若，则或-2
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．的最大值为6
B．△ABC外接圆的半径为4
C．△ABC周长的最大值为
D．
三、填空题
12．已知向量,，若，则 ．
13．在△ABC中，若点D满足，则＝ （以向量、为基底表示向量）．
14．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ．
四、解答题
15．已知非零向量、满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）求的值．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角A的大小；
（2）若，，求△ABC的面积．
17．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
18．如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点．
（1）设，求实数的值；
（2）设是上一点，且，求的值．
19．已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求A的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因，则.
故选C
2．【答案】A
【详解】由可得：，所以，
又，则，
所以．
故选A
3．【答案】B
【详解】如图①，过作于E，
由等腰梯形可得是等腰直角三角形，
即，
还原平面图，如下图：为直角梯形，
则，
所以四边形ABCD的面积为，即B正确．
故选B．
4．【答案】C
【详解】方法一（割补法）：由于相似比为，而截去的正四棱锥的高为，
所以原正四棱锥的高为，
所以原正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.
方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为.
故选C.
5．【答案】B
【详解】由单位向量，的夹角为，则，
由，可得，
即，可得，解得，
故选B．
6．【答案】D
【详解】设，则，且，
在中，，
∴，即，
．
故选D．
7．【答案】A
【详解】因为在中，，，，
所以．
故选A．
8．【答案】B
【详解】，为的中点，
，，
三点共线，
设
，
又，
，解得.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】由题意，复数，
对于A项：，故A正确；
对于B项：，所以复数z的虚部等于－2，所以B项错误；
对于C项：，所以C项正确；
对于D项：，对应的点在复平面的第三象限，所以D项正确.
故选ACD．
10．【答案】CD
【详解】对于A，由与的夹角为钝角，得，且，
解得，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，与垂直的单位向量为或，C正确；
对于D，由，得，解得或，D正确.
故选CD
11．【答案】AC
【详解】对于A，根据余弦定理得，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立．所以，所以A正确．
对于B，因为，所以△ABC外接圆的半径为2，所以B错误.
对于C，由选项A 得，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确．
对于D，因为，所以，所以，所以D错误．
故选AC．
12．【答案】
【详解】分析:直接代向量平行的坐标公式即得x的值.
详解：由题得2×（-2）-x=0，所以x=-4.故填-4.
点睛：本题主要考查向量平行的坐标运算公式，属于基础题.
13．【答案】
【详解】，
，
.
14．【答案】/
【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径，
，三棱锥的高即圆柱的高，
由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆，
由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径，
所以圆柱的外接球的体积为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），，，，
，，，
，与的夹角为．
（2），.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由正弦定理得．
因为，所以，
因为中，，所以．
（2）由，及余弦定理．
得，解得或（舍），
所以
17．【答案】（1）表面积，体积
（2）体积，表面积
【详解】（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
圆锥侧面积，
圆锥的底面积，
圆锥的表面积；
圆锥的体积为．
（2）由（1）可得：圆锥的体积为
又圆柱的底面半径为，高（母线）为
圆柱的体积为
剩下几何体的体积为；
由（1）得圆锥的表面积；
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，，因为，
故，整理得，
又，即，则①，
设，，又是的中点，
所以②，
联立①②，据平面向量其本定理得，解得，，
所以实数的值为.
（2）因为，
又，则，得到，
由（1）知，又，
则.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），
由正弦定理得，
整理得，
在中，，
，即，
，即；
（2）由正弦定理得，
∴，，
∴，
，
∴，
在锐角中 ，
∴，，
∴，
∴周长的取值范围为．