广西壮族自治区百色市2023−2024学年高一下学期7月期末教学质量调研测试 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区百色市2023−2024学年高一下学期7月期末教学质量调研测试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（ ）
A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．女生投篮水平比男生投篮水平高
C．男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D．男女同学投篮命中数的极差相同
3．若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ）
A．30米B．米C．米D．米
7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，，为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A．当时，若，则
B．当，时，若，则
C．当，时，，则m，n是异面直线
D．当，时，若，则
10．《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（ ）
A．极差为13B．中位数为81
C．平均数为90D．方差为25
11．在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．若为边的中点，则的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为 ．
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B= ．
14．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，且与的夹角为，
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，.
(1)平面；
(2)求三棱锥的体积．
17．某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
(2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
18．在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.
(1)求角A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小；
(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算求出结果，进而得出复数在复平面内对应的点的坐标.
【详解】,则复数在复平面对应点的坐标为.
故选A.
2．【答案】C
【分析】根据平均数和方差计算公式结合图表数据计算出，，，，然后进行比较即可求得结果.
【详解】由图可知，，
，
，
所以，，所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定，
故选C.
3．【答案】D
【解析】根据平面向量投影定义,即可得解.
【详解】因为,向量与向量的夹角为
则在上的投影向量为
故选D.
4．【答案】C
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选C.
【思路导引】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
5．【答案】A
【分析】画出图形，由平面向量的线性运算法则结合图形即可得解.
【详解】由题意画出图形，如图，
因为，为的中点，
所以，,
所以
.
故选A.
6．【答案】A
【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得.
【详解】设，依题意，，，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故选A.
7．【答案】B
【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积.
【详解】在中，由及正弦定理，得，
而，则，由及余弦定理得，，
因此，，则，
所以的面积为.
故选B.
8．【答案】D
【分析】由题意可知几何体为正四棱台，根据正四棱台以及球的结构特称求出外接球的半径，进而可得表面积.
【详解】依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
正四棱台高为，
设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，，
圆的半径分别为，显然，
则，即球心在正四棱台外，
于是，解得，
所以的外接球的表面积为.
故选D.
9．【答案】ABD
【分析】根据线面平行和垂直关系逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，互相平行的两个平面，一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这一个平面，A正确；
对于B，由，，得，而，因此，B正确；
对于C，，，，则m，n可以是平行直线，也可以是异面直线，C错误；
对于D，由，得，又，则成立，D正确.
故选ABD.
10．【答案】AC
【分析】根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算可得.
【详解】这组数据从小到大排列为、、、、、、，
极差为，故A正确；
中位数为，故B错误；
平均数为，故C正确；
方差为，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；
对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，
则则，则，故D正确.
故选ACD.
【关键点拨】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题．
12．【答案】109.5
【分析】因为，进而可以求解.
【详解】因为，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为，
故答案为：109.5.
13．【答案】
【解析】利用正弦定理边角互化、余弦定理即可求解.
【详解】根据正弦定理，
可得，
由已知可得，整理可得，
在中.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），然后表示出可求得其最大值
【详解】如图建系，则、、，
则，设（），
则（），则，，
∴，
∴，
当时，取最大值．
故答案为：.
15．【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可.
（2）先求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）由平面向量数量积的定义得，
故的值为，
（2）设向量与的夹角为
，
又，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，再根据锥体的体积公式求出，即可得解.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为底面是平行四边形，所以为的中点，又为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为为的中点，
所以，所以，
因为平面，，，是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
17．【答案】(1)直方图见解析；71（分）
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在的频率，从而可得这800名学生的平均成绩；
（2）根据分层抽样确定成绩在内的人数并标记，成绩在内的人数并标记，根据古典概型列举基本事件种数及所求事件种数，即可得概率值.
【详解】（1）成绩落在的频率为，
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为；
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；
（2）抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，，，，成绩在内的有（人），分别记为，，
从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，，，，，，，，，，，，，，.共有15种.
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9种，
所以所求概率为.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解.
（2）由面积公式得，再用余弦定理得，再由转化计算即可求解.
【详解】（1）选①得，.
即，
则（舍去）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
19．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，，理由见解析.
【详解】（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，
平面，而平面，则，又 ，
平面，，于是平面，而平面，
所以.
（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，
于是是二面角的平面角，令正方形边长为，
则，有，又，
则，，
因此，，所以二面角的大小为.
（3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，而平面，平面，得平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，由（2）知，，即点是中点，
于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
【思路导引】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得.
（2）由（1）的信息，确定二面角的平面角，再计算大小.
（3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解.