广东省佛山市顺德区桂洲中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省佛山市顺德区桂洲中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知向量a=01,b=12，若a⊥b-λa，则λ=（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．-2
2.若，则 1+cs2α2-1-cs2α2等于（ ）
A．csα－sinα B．‍‍csα＋sinα C．－csα＋sinα D．－csα－sinα
3.已知向量e1，e2不共线，AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e1-5e2，则（ ）
A．AB与AC共线
B．AB与CD共线
C．A，B，C，D四点不共面
D．A，B，C，D四点共面
4.已知向量a=-2-1,b=-1-1，则向量b在向量a上的投影向量为（ ）
A．-655-355 B．-255-55 C．-65-1 D．-65-35
5.在ABC中，角ABC的对边分别为abc，向量α=acsB，βcsA-b，若α⊥β，则ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6.如图，在直角坐标系内，角α的终边与单位圆交于点P13545，OP1逆时针旋转π3得OP2，OP2逆时针旋转π3得OP3，…，OPn-1逆时针旋转π3得OPn，则点P2022的横坐标为（ ）
A．3-4310 B．3+4310 C．4-3310 D．4+3310
7.已知向量a=-5m,b=-23，且a,b的夹角为锐角，则m的取值范围为（ ）
A． B．-103152∪152+∞ C．-103+∞ D．-∞-152∪-152-103
8.已知函数fx=Asinωx+ϕ(其中)的部分图象如图所示，点M,N是函数图象与x轴的交点，点P是函数图象的最高点，且PMN是边长为2的正三角形，ON=3OM，则f13=（ ）
A．32 B．32+24 C．32-64 D．32+64
二、多选题
9.已知向量a=3-1,b=12，则下列选项正确的是（ ）
A．a⊥b
B．a+b=17
C．已知c=t1，若a//c，则t=-3
D．a与b夹角的余弦值为25
10.已知ABC不是直角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则（ ）
A．sinC=sinA+B
B．csC=csA+B
C．tanC=tanA+tanBtanAtanB-1
D．a=bcsC+ccsB
11.函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线x=13π12是函数fx图像的一条对称轴
B．函数fx的图像关于点-5π6+kπ20，k∈Z对称
C．函数fx的单调递增区间为-5π12+kππ12+kπ，k∈Z
D．将函数fx的图像向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数y=sinx的图象
三、填空题
已知向量a，b满足：a=1，b=3，a-b=2，则a+b=__________；
向量a+b与a的夹角为：________
14.某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A、B两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D、C、E，从D点测得∠ADC=67.5∘，从点C测得∠ACD=45∘，∠BCE=75∘，从点E测得∠BEC=60∘，并测得DC=23，CE=2（单位：千米），测得A、B两点的距离为________千米．
四、解答题
15.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1且a,b的夹角为60°.
(1)若2a+3b⊥a-kb，求实数k的值；
(2)求a+b与a-b的夹角的余弦值．
16.已知函数fx=3sinωx+ϕ，．从下面的两个条件中任选其中一个：
①fx=3cs2x+33sinxcsx-32；②若fx1=3，fx2=0，且x1-x2的最小值为π4，f0=32；求解下列问题
(1)化简fx的表达式并求fx的单调递增区间；
(2)请填写表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象．（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）
17.如图，在等边ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO．过点O的直线分别交射线AB,AC于不同的两点M，N．

(1) 设AB=a,AC=b，试用a,b表示AO；
(2)求cs∠AOB的值；
(3)设AB=mAM,AC=nAN，求n+1m+2n的最小值．
18.在非直角三角形 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足a=2ccsB-bcsC .
(1)求证: tanC=2tanB ．
(2)若 tanA=3,a=3 ，求 ABC 的面积
19.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角∠ACB=π4,∠CBA为锐角，假设墙CA,CB的可利用长度（单位：米）足够长。
(1)在ABC中，若BC边上的高等于14BC，求sin∠CAB；
(2)当AB的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
参考答案与试题解析
1.A
【解析】若a⊥b-λa，则a⋅b-λa=0，即a⋅b=λa2，
向量a=01,b=12，则0+2=λ，解得λ=2．
故选：A
2.D
【解析】依题意α∈π2πnbsp;，
1+cs2α2-1-cs2α2=cs2α-sin2α=csαnbsp;-sinαnbsp;=-csα-sinα．
故选：D
3.D
【解析】ACλAB，AC，AB不共线，故A错误；
CD=AD-AC=e1-13e2，则CDλAB，即CD与AB不共线，故B错误；
若AD=xAB+yAC，则3e1-5e2=xe1+xe2+2ye1+8ye2=x+2ye1+x+8ye2，
则，得，即AD=173AB-43AC，
则A，B，C，D四点共面，故C错误；D正确；
故选：D．
4.D
【解析】向量b在向量a上的投影向量为a⋅ba⋅aa=35a=-65-35．
故选：D
5.D
【解析】因α⊥β，所以acsA-bcsB=0，
所以bcsB=acsA，由正弦定理可知sinBcsB=sinAcsA，所以sin2A=sin2B．
又，且，所以2A=2B，或2A+2B=π，
所以A=B，或A+B=π2．
则ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6.B
【解析】由题意，P1csαsinαnbsp;，故P2022csα+2021π3sinα+2021π3，由诱导公式且α+2021π3=674π+α-π3，有P2022csα-π3sinα-π3，即点P2022的横坐标为csα-π3=csαcsπ3+sinαsinπ3=35×12+45×32=3+4310
故选：B
7.B
【解析】
8.D
【解析】过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则Q为MN的中点，
因为PMN是边长为2的正三角形，ON=3OM，
所以M-120,N320，PQ=3，
所以P123，A=3，
由题知T=2MN=4，所以ω=2πT=π2，所以，
将P123代入解析式得，
所以π4+ϕ=π2+2kπ，ϕ=π4+2kπ,k∈Z，
所以fx=3sinπ2x+π4+2kπ=3sinπ2x+π4，
所以f13=3sinπ6+π4=312×22+32×22=6+324．
故选：D
9.B,C
【解析】对于A，易知a⋅b=3-2=10，所以a,b不垂直，即A错误；
对于B，a+b=3-1+12=41，可得a+b=42+12=17，可得B正确；
对于C，由c=t1且a//c可得3×1+t=0，解得t=-3，即C正确；
对于D，设a与b的夹角为θ，所以csθ=a⋅bab=110×5=152=210，可得D错误．
故选：BC
10.A,C,D
【解析】对于A，因为C=π-A+B，所以sinC=sinπ-A+B=sinA+B，所以A正确，
对于B，因为C=π-A+B，所以csC=csπ-A+B=-csA+B，所以B错误，
对于C，因为C=π-A+B，所以tanC=tanπ-A+B=-tanA+B
=-tanA+tanB1-tanAtanB=tanA+tanBtanAtanB-1，所以C正确，
对于D，因为A=π-B+C，所以sinA=sinπ-B+C=sinB+C，
所以sinA=sinB+C=sinBcsC+sinCcsB，
所以由正弦定理得a=bcsC+ccsB，所以D正确，
故选：ACD
11.A,C,D
【解析】由图像可知A=1，T4=7π12-π3=π4⇒T=π⇒ω=2πT=2，
又f7π12=sin2×7π12+ϕnbsp;=-sinπ6+ϕnbsp;=-1，
所以π6+ϕ=2kπ+π2,k∈Z⇒ϕ=2kπ+π3,k∈Z，
因为ϕnbsp;lt;π2，所以ϕ=π3，所以fx=sin2x+π3，
A：令2x+π3=kπ+π2⇒x=12kπ+π12,k∈Z，当k=2时，x=13π12，故A正确；
B：令2x+π3=kπ⇒x=12kπ-π6,k∈Z，故B错误；
C：令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z⇒kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，故C正确；
D：将函数fx的图像向右平移π6个单位得到fx=sin2x-π6+π3=sin2x，
再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数fx=sinx，故D正确；
故选：ACD．
12.5+14
【解析】因为sin18∘=5-14，
所以cs36∘=1-2sin218∘
=1-2×5-142=1-2×6-2516=2+258=1+54．
故答案为：1+54．
13.2、π3
【解析】因为a-b=2，所以a2-2a⋅b+b2=4，
又因为a=1，b=3，所以a⋅b=0，
a+b=a+b2=a2+2a⋅b+b2=2；
由向量的数量积公式得：csa+b,a=a+b⋅aa+ba=a2+a⋅b2×1=12，
由于向量夹角的范围为0π，所以a+b与a的夹角为π3，
故答案为：2，π3．
14.3
【解析】在ACD中，∠ACD=45∘，∠ADC=67.5∘，CD=23，
∠CAD=67.5∘，则AC=CD=23，
在BCE中，∠BEC=60∘，∠BCE=75∘，CE=2，则∠CBE=45∘，
由正弦定理得CEsin45∘=BCsin60∘，可得BC=CEsin60∘sin45∘=2×3222=3，
在ABC中，AC=23，BC=3，∠ACB=180∘-∠ACD-∠BCE=60∘，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC⋅BCcs60∘=9，因此，AB=3（千米）．
故答案为：3．
15.
(1)115
【解析】2a+3b⊥a-kb,2a+3b⋅a-kb=0
2a+3b⋅a-kb=2a2+3-2ka⋅b-3kb2=2|a|2+3-2k|a|⋅|b|⋅cs60∘-3k|b|2
=8+3-2k×2×1×cs60∘-3k×1=0．
解得k=115．
(2)217
【解析】a+b⋅a-b=|a|2-|b|2=4-1=3．
a+b=a+b2=a2+2a⋅b+b2=4+2×2×1×12+1=7
a-b=a-b2=a2-2a⋅b+b2=4-2×2×1×12+1=3
csa+b,a-b=a+b⋅a-ba+ba-b=37×3=217．
故a+b与a-b的夹角余弦值为217
16.
(1)若选①：( I ) fx=3sin2x+π6，单调递增区间为-π3+kππ6+kπ,k∈Z.；若选②：( I ) fx=3sin2x+π6，单调递增区间为-π3+kππ6+kπ,k∈Z.
【解析】fx=3cs2x+33sinxcsx-32
=321+cs2x+232sin2x-32
=3sin2x+π6，
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以函数fx的单调递增区间为-π3+kππ6+kπ,k∈Z.
(2)见解析
【解析】表格如下：
函数f (x )在一个周期内的图象如图所示：
若选②：
（Ⅰ）因为fx1=3，fx2=0，且x1-x2的最小值为π4，所以T4=π4,则T=π，所以ω=2πT=2，
又f0=32，所以3sinϕ=32，解得ϕ=π6，所以fx=3sin2x+π6，
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,，所以函数fx的单调递增区间为-π3+kππ6+kπ,k∈Z.
（Ⅱ）表格如下：
函数f (x )在一个周期内的图象如图所示：
17.
【解析】
17.
(1)AO=23a+13b
【解析】由OC=2BO，得AC-AO=2AO-AB，
所以AO=23AB+13AC=23a+13b
(2)-714
【解析】在等边ABC中，a⋅b=3×3×cs60∘=92，
由（1）得|AO|=132a+b2=134a2+b2+4a⋅b=134×9+9+4×92=7，
OC=23BC=23AC-AB=23b-a，OA=-132a+b，|OC|=2，
OA⋅OC=292a+b⋅a-b=292a2-a⋅b-b2=292×9-92-9=1，
所以csOA,OC=OA⋅OC|OA||OC|=17×2=714．
故cs∠AOB=-csOA,OC=-714
(3)4
【解析】由（1）知，AO=23AB+13AC，而AB=mAM，AC=nAN，
因此AO=2m3AM+n3AN，而M,O,N共线，则2m3+n3=1，
又mgt;0,ngt;0，于是n+1m+2n=3-2m+1m+2n=4m+2n-2，
由于4m+2n=4m+2n2m3+n3=103+43nm+mn≥103+43×2nm⋅mn=6
当且仅当nm=mn，即m=n=1时取等号，
所以n+1m+2n的最小值是4．
18.
【解析】
18.
(1)(1)证明见解析
(2)3
【解析】由a=2ccsB-bcsC可得sinA=2sinCcsB-sinBcsC,
又sinA=sinB+C=sinBcsC+csBsinC，
所以2sinBcsC=sinCcsB，
由于ABC为非直角三角形，故csB0,csC0,因此tanC=2tanB，
(2)3
【解析】由tanC=2tanB，tanA=3可得tanA=tanπ-B-C=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC=-3tanB1-2tan2B=3,
解得tanB=1或tanB=-12，
若tanB=-12，则tanC=-1,此时B,C均为钝角，不符合题意，
故tanB=1，B=π4,则tanC=2，且C为锐角，故sinC=255,csC=55，
又tanA=3，A为锐角，故sinA=31010,csC=1010,
由正弦定理asinA=csinC得331010=c255,解得c=22
SBCA=12acsinB=12×3×22×22=3
19.
(1)255
【解析】过点A作AD⊥BC交BC于D．
设AD=x米，x>0，则CD=x米，BD=34BC=34×4x=3x米．
在ABD中，sin∠CBA=xx2+9x2=1010,cs∠CBA=3xx2+9x2=31010．
故sin∠CAB=sin∠CBA+∠ACB=22sin∠CBA+cs∠CBA=22×1010+31010=255
(2)9+92平方米
【解析】设，则BD=6csθ米，CD=AD=6sinθ米，
SABC=12×6sinθ×6csθ+6sinθnbsp;=92sinθcsθ+2sin2θnbsp;=9sin2θ+1-cs2θnbsp;=9+92sin2θ-π4
因为θ∈0π2，所以2θ-π4∈-π43π4，
所以，当2θ-π4=π2,θ=3π8时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为9+92平方米．