2024-2025学年广东省佛山市桂城中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省佛山市桂城中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=−1−3i，则z的虚部为( )
A. 3iB. −3iC. 3D. −3
2.cs2π12−sin2π12=( )
A. 12B. 33C. 22D. 32
3.若α−β=60°，则tanα−tanβ− 3tanαtanβ=( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
4.已知|a|= 2，且a⋅b=−2，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 12aB. 12bC. −aD. −b
5.已知向量a，b满足：|a|=1，|a+2b|=2，且(b−2a)⊥b，则|b|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
6.若cs2α=35，则sin4α+cs4α=( )
A. −1725B. 1725C. −825D. 825
7.要得到函数y=sinx+csx的图象，只需将函数y= 2cs2x的图象上所有的点( )
A. 先向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B. 先向左平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
C. 先向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D. 先向左平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)
8.已知△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，BD=2DC，AE=EC，则AD⋅BE=( )
A. 1
B. −2
C. 12
D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P(3,−4)下列说法正确的有( )
A. sinα=35
B. sinα+csαsinα−csα=17
C. sin(π2+α)sin(2π+α)tan(−α−π)cs(−π+α)=35
D. csα 1+sinα1−sinα+sinα 1+csα1−csα=−75
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. cs(A+B)=csC
B. 若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3
C. 若sinA>sinB，则A>B
D. 若sin2A+sin2B−sin2C0,ω>0,|φ|0)在[0,π]上有且仅有两个零点，则t∈[56,43)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=35，α为锐角，则cs(α+π6)= ______．
13.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|=2 3,b=(3,4)，则|a+2b|= ______．
14.在△ABC中，|BA+BC|=4，|AC+AB|=2，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，已知a=(1,−2)，b=(3,4)．
(1)若(3a−b)//(a+kb)，求实数k的值；
(2)若(a−tb)⊥b，求实数t的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[−π3,π3]时，求函数f(x)的值域．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知csC=35
(1)若CB⋅CA=92，求△ABC的面积；
(2)设向量x=(2sinB2, 3)，y=(csB,csB2)，且x//y，b=5 3，求a的值．
18.(本小题17分)
养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，AO、OB为直线岸线，OA=2千米，OB=3千米，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)若OT=(− 3,1)为ℎ(x)=msin(x−π6)的相伴特征向量，求实数m的值；
(2)记向量ON=(1, 3)的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时sinx的值；
(3)已知A(−2,3)，B(2,6)，ℎ(x)为(1)中函数，φ(x)=ℎ(x2−π3)，请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.CD
11.AD
12.3 3−410
13.2 13
14.43
15.解：(1)∵a=(1,−2)，b=(3,4)，
∴3a−b=3(1,−2)−(3,4)=(0,−10)，
a+kb=(1,−2)+k(3,4)=(3k+1,4k−2)，
∵(3a−b)//(a+kb)，∴0+10(3k+1)=0，解得k=−13．
(2)a−tb=(1,−2)−t(3,4)=(1−3t,−2−4t)，
∵(a−tb)⊥b，∴(a−tb)⋅b=3×(1−3t)+4×(−2−4t)=−25t−5=0，
解得t=−15．
16.解：(1)函数f(x)=2sinxcsx+2 3cs2x=sin2x+ 3cs2x+ 3
=2sin(2x+π3)+ 3，
令2x+π3∈[2kπ−π2,2kπ+π2],k∈Z，解得x∈[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，
令2x+π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，解得x∈[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z，
单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z；
(2)当x∈[−π3,π3]时，2x+π3∈[−π3,π]，
当2x+π3=π2时，f(x)max=2+ 3，
当2x+π3=−π3时，f(x)min=2×(− 32)+ 3=0，
所以函数f(x)的值域为[0,2+ 3].
17.解：(1)由CB⋅CA=92，得abcsC=92．
又因为csC=35，所以ab=92csC=152．
又C为△ABC的内角，所以sinC=45. 所以△ABC的面积S=12absinC=3．
(2)因为向量x=(2sinB2, 3)，y=(csB,csB2)，且x//y，
所以2sinB2csB2= 3csB，即sinB= 3csB．
因为csB≠0，所以tanB= 3．
因为B为三角形的内角，0