数学（四）-2025年中考考前20天终极冲刺攻略（全国通用）（原卷版+解析版）

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图形的相似………………………………………………………………………………………01
锐角三角函数……………………………………………………………………………………10
投影与视图………………………………………………………………………………………20
中考易错题（60题）……………………………………………………………………………31
中考临考押题模拟卷（通用）…………………………………………………………………42
01图形的相似
考查分值：分值在3-19分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：相似三角形的基本性质与判定:仍是重点内容。位似图形:考查位似中心的确定、位似比的计算，以及在平面直角坐标系中根据位似变换求点的坐标。相似与其他知识的综合:与函数(如一次函数、二次函数)结合，通过函数图象上的点构造相似三角形，解决函数中的几何问题，与圆结合，利用圆中的圆周角、弦切角等关系构造相似三角形，求解与圆相关的线段长度、角度问题:在实际问题中构建相似三角形模型，如测量物体高度、河宽等问题。
知识点1：比例有关的概念和性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【高分技巧】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：第一条第二条=第三条第四条），而不能写成ab=dc.
比例的性质：
1）基本性质：ab=cd⇔ad=bc ab=bc⇔b2=ac
2）变形：ab=cd⇔&ac=bd，(交换内项)&db=ca，(交换外项)&dc=ba．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc
3）合、分比性质：ab=cd⇔a±bb=c±dd
4）等比性质：如果ab=cd=ef=⋯=mn=k， 那么a+c+e+⋯+mb+d+f+⋯+n=k(b+d+f+⋯+n≠0).
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB (5-12叫做黄金分割值). 简记为：长全＝短长＝5-12
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EFDE或BCAC=EFDF或ABDE=BCEF等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
知识点2：相似三角形的性质与判定
相似多边形的的概念：
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
知识点3：位似
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
真题1 （2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）

A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
真题2（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为（ ）

A．165B．167C．2D．3
真题3（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5-12，若NP=2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
真题4（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F．若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= ．
真题5（2024·广东广州·中考真题）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
真题6（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．
(1)求证：∠2=∠3；
(2)若∠4=45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC=13，AD=5，求EF的长．
真题7（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
真题8（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD=∠C，则AB2=BD⋅BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，CA=CD=2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED=∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE=4，DG=6，求FG的长．
预测1（2025·浙江·二模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若AB∶BC=1∶2，DE=2，则EF的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
预测2（2025·浙江·模拟预测）若4b-aa=2，则ab的值为（ ）
A．14B．4C．34D．43
预测3（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为30cm．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的13时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A．10cmB．30cmC．90cmD．120cm
预测4（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为20cm，宽为8cm的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为10cm，则缩小后的矩形面积为（ ）
A．100cm2B．80cm2C．60cm2D．40cm2
预测5（2025·青海海东·一模）【探究与证明】
【问题情境】宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）
【操作发现】
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中AB=______（保留根号）；
(2)如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
(3)如图④，请证明矩形BCDE和矩形MNDE是黄金矩形．
押题1如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（ ）
A．12B．1C．43D．2
押题1如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)，则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为（ ）
A．(-4,8)B．(8,-4)C．(-8,4)D．(4,-8)
押题2如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（ ）
A．2B．3C．52D．83
押题3如图，双曲线y=12xx>0经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（ ）
A．4.5B．3.5C．3D．2.5
押题4《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= m．

押题5如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．
押题6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
押题7问题提出：如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa≥90°,AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．

问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展：
(3)将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
02 锐角三角函数
考查分值：分值在5-10分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：基础的三角函数定义、特殊角的三角函数值以及简单的解直角三角形应用，难度依然保持较低主要考查学生对基础知识的掌握和简单运用能力。在与其他知识综合考查的题目中，难度会有所上升，属于中等偏上难度。这类题目需要学生具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及对知识的综合运用能力。学生需要能够从复杂的情境中抽象出直角三角形模型，并灵活运用三角函数知识，结合其他数学知识和方法进行求解。
知识点：锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
1）同角三角函数的关系：tanA=sinAcsA ，sin2A+cs2A=1
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cs B, sin B = cs A, tanA•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
5. 锐角三角函数的性质
解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
sin A= ∠A所对的边斜边 = ac ，sin B= ∠B所对的边斜边 = bc
cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc ，csB= ∠B所邻的边斜边= ac
tan A= ∠A所对的边邻边 = ab ，tanB= ∠B所对的边邻边= ba
解直角三角形常见类型及方法：
真题1（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
真题2（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．253米B．25米C．252米D．50米
真题3（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB=6，BC=8，则cs∠ABF的值是 ．
真题4（2024·西藏·中考真题）计算：-13+2tan60°-12+π-20．
真题5（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
真题6（2024·甘肃兰州·中考真题）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75，sin64°≈0.90,cs64°≈0.44,tan64°≈2.05．
真题7（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
真题8（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73）
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
预测1（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A=30°，OD=20cm．CD的长为（ ）
A．23B．43C．26D．20
预测2（2025·陕西西安·模拟预测）计算：-20240-2cs45°+1-2+9．
预测3（2025·陕西咸阳·二模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，DE交BC的延长线于点E，且∠E=∠BAC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tan∠DBC=12，BC=2，求DE的长．
预测4（2025·福建厦门·模拟预测）如图，小明从点A出发，沿着坡度i（即tanA）为1:2.4的坡道AB向上走了130m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150m到达点D．
(1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度；
(2)求点A，D间的水平距离AE的长．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cs36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75）
预测5（2025·重庆·一模）如图，A是某动物园入口，B、C、D是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口A一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区C汇合．如图是路线平面示意图，已知展区C在起点A的东北方向，小明从起点A出发沿正北方向走了900米到展区B，在展区B参观10分钟，再沿北偏东75°的方向走一段路即可到达展区C，小华从起点A出发向正东方向走到展区D，在展区D参观14分钟，再沿北偏东30°方向走一段路即可到达展区C．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)求AC的长度；（结果精确到1米）
(2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区C？（结果精确到0.1）
预测6（2025·江苏镇江·一模）【阅读理解】
小明用了如下的方法计算出tan15°的值．
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则BD=AD，∠ADC=30°．设AC=k，则AD=BD=2k，DC=3k．
tanB=tan15°=k2k+3k=2-32+32-3=2-3.
【拓展应用】
如图2，矩形ABCD为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点M处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点C的仰角α为18.4°，由于某个原因，BM的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点N处测得顶点D的仰角为73.6°，同时测得AN的长度为5米．
(1)请模仿小明的方法，求出tan2α的值；
(2)求出建筑物的高度．
参考数据：sin18.4°≈825，cs18.4°≈2425，tan18.4°≈13．
预测7（2025·河北邯郸·一模）如图，监控摄像头M固定在墙壁BC上的支架AB上，在墙上的固定点为点B，已知BC=2.8m，BM=0.6m，∠ABC=120°．
(1)求点M到地面l的距离；
(2)该摄像头的可监控视角∠PMQ=40°（点P，Q在地面l上），MN平分∠PMQ，且MN⊥BM．
①求∠MPC的度数；
②求监控摄像头在地面上最远可视点P到点C的距离．
（结果均精确到0.1m，参考数据：tan40°取0.84，3取1.7）
预测8（2025·河北邯郸·一模）情境
嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架OA垂直于水平面，射灯AB发出垂直于AB的光线，OA和AB的夹角α=130°，AB=12cm．
操作
嘉嘉进行了两步实验操作：
①如图1，光线投射到空水槽底部CD处．
②如图2，向水槽注水，光线投射到水面MN处，然后发生折射，最后投射到底部EF处．
探究
(1)请求出CD长（结果保留一位小数）；
(2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求EF的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出EF长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）
押题1计算：-3+12-1+π+10-tan60°．
押题2如图，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长．
押题3综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
(1)求线段CD的长（结果取整数）；
(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．
押题4中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求β的大小及tanα的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值．
押题5综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
押题6如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AD=10，csB=35，求FD的长．
押题7图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到0．01m，参考数据：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，3≈1.732）
押题8中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）

03投影与视图
考查分值：分值在3-6分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：投影与视图在中考中是比较重要的考点，命题会注重基础与能力的结合，突出知识的应用性和实践性。考生在复习时应扎实掌握基本概念和方法，多进行空间想象和实际问题的分析训练，以提高应对各种题型的能力。
知识点1：投影
投影的定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影.（例如：太阳光）
平行投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
图1 图2
【高分技巧】
1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例.
2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子.（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即：，利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等.
4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影子长度由长变短再变长.
中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影.（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
1）等高的物体垂直地面放置时（图3），在灯光下离点光源近的物体它的影子短，
离点光源远的物体它的影子长.
2）等长的物体平行于地面放置时（图4），一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

图3 图4
【高分技巧】
1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似.
正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影.
正投影的分类：
1）线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、
②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；
③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.
2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线.
3）立体图形的正投影
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
投影的判断方法：
1）判断投影是否为平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．
2）判断投影是否为中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点的，那么所得到的投影就是中心投影．
真题1（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
真题2（2024·江苏徐州·中考真题）由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（ ）
A．B．C．D．
真题3（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形ABCD边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8B．4C．8πD．4π
真题4（2024·安徽·中考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
真题5（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:BB1=2:3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90 cm2B．135 cm2C．150 cm2D．375 cm2
真题6（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
真题7（2024·山东日照·中考真题）如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（ ）
A．主视图会发生改变B．左视图会发生改变
C．俯视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
真题8（2024·四川雅安·中考真题）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
真题9（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G'=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
预测1（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
预测2（2025·四川眉山·一模）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
预测3（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
预测4（2025·安徽·一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．C．D．
预测5（2025·山东烟台·一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（ ）
A．17πB．20πC．36πD．68π
预测6（2025·安徽六安·二模）如图是一个几何体（正方体挖去一个圆锥）的示意图，这个几何体的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
预测7（2025·陕西西安·模拟预测）如图，一块面积为40cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A'B'C'，若OB:BB'=2:3，则△A'B'C'的面积是 cm2．
预测8（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中MN为地面，AB，CD为相邻的太阳能光伏板横截面，测得AB=CD=1米，B到地面的距离BE=0.3米，A到地面的距离AF=0.8米，BD=1.2米，此时垂直立于地面的1米的杆PQ的影长RQ为0.65米．（参考数据：tan33°≈0.65,3≈1.732）
(1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高；
(2)通过计算确定此时太阳能光伏板AB是否遮挡了CD．
押题1下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）

A．①B．②C．③D．④
押题2信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A．B．
C．D．
押题3如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．

A．12πB．15πC．18πD．24π
押题4篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
押题5如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
押题6某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知∠MAD=22°，∠FCN=23°，则∠ABC的大小为（ ）
A．44°B．45°C．46°D．47°
押题7《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈=10尺，1尺=10寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（ ）
A．30尺B．35尺C．40尺D．45尺
押题8如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶CD=EF=HG=0.2m，DE=FG=0.3m，此时台阶在地面的影子QM=0.45m，树的底部到台阶的距离BC=1.8m，则树的高度AB为（ ）
A．3.2mB．3.4mC．3.6mD．3.8m
中考易错题（60题）
一．有理数大小比较（共1小题）
1．如果m是一个不等于﹣1的负整数，那么m，1m，﹣m，-1m这几个数从小到大的排列顺序是（ ）
A．m＜1m＜-m＜-1mB．m＜1m＜-1m＜-m
C．﹣m＜-1m＜m＜1mD．-1m＜-m＜1m＜m
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．北京中轴线上的先农坛被誉为“天下第一仓”，在神仓陈列馆里展示着中国古代农民用作存储谷物的“米斗”（如图），若1斗米约为6250g，则1斗米用科学记数法表示为（ ）g．
A．6.25×102B．6.25×103C．1.25×102D．1.25×103
三．用数字表示事件（共1小题）
3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．
四．代数式求值（共1小题）
4．已知2x+1＝﹣2，则代数式2x2+x﹣1的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
五．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝ ．
六．二次根式有意义的条件（共1小题）
6．若代数式x-5有意义，则实数x的取值范围是 ．
七．二次根式的性质与化简（共1小题）
7．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．﹣x2y+2yx2＝3x2yB．4a2+a2＝5a4
C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．(-4)2=4
八．等式的性质（共1小题）
8．等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（ ）
A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5
B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5
C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c
D．若a＝b+5，则ac=b+5c
九．配方法的应用（共1小题）
9．按要求解决下面问题．
（1）比较a2+b2与2ab的大小．（填“＜”、“＞”、“＝”）
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 2ab．
②当a＝2，b＝3时，a2+b2 2ab．
（2）根据（1）中计算结果，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并加以证明．
（3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边长，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE与正方形BCFG，并连结AF．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△ACF的面积为2，求S1+S2的最小值．
十．不等式的解集（共1小题）
10．若不等式组x＞ax≥-3的解集为x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．a≤3C．a＞﹣3D．a≥﹣3
十一．一元一次不等式组的应用（共1小题）
11．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x≤3B．2＜x≤3C．3≤x＜5D．2≤x＜5
十二．函数的图象（共2小题）
12．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
13．沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具．某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位：g）与时间t（单位：s）之间的关系，部分数据如下：
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完150g沙子所用的时间t（单位：s）与孔径d（单位：mm）之间的关系，部分数据如下：
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
（1）在探究一中，75s时漏下沙子的质量约为 g（结果保留小数点后一位）；
（2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为 mm；
（3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完150g沙子所用时间为50s的沙漏，其孔径约为 mm（结果保留小数点后一位）．
十三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，1.5），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点E、F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7.25B．6≤m＜6.25C．6＜m＜6.25D．6≤m≤7.25
十四．两条直线相交或平行问题（共1小题）
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+2与直线y＝bx﹣2的图象交于点C，点C的横坐标为﹣2，则a﹣b＝ ．
十五．一次函数的应用（共8小题）
16．研究人员发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数y（单位：次）是温度t（单位：℃）的一次函数，部分数据如表所示，则y与t之间的关系式为（ ）
A．y＝7t﹣35B．y＝7t+35C．y＝14tD．y＝14t+112
17．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买9支甲种灭火器和6支乙种灭火器，则一共需要615元；若购买8支甲种灭火器和12支乙种灭火器，则一共需要780元．
（1）每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种灭火器共30支，其中购买甲种灭火器a支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多5支，且不超过乙种灭火器数量的2倍．哪种购买方案可使总费用W最少？并求出最少总费用．
19．如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为10km，塔林到草甸的路程为25km，草甸到飞瀑的路程为10km．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为20km/h．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为s km，时间为t h，s关于t的部分函数图象如图所示．
（1）求小庆乘电动汽车的速度；
（2）求图中a的值；
（3）何时两人相距的路程等于5km？
20．学科实践：
近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．
问题解决：
（1）若汽车充电的总电量为x kW•h，
①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x的关系表达式为 ；
②请分别写出当0＜x≤20和x＞20时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x的关系表达式．
出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．
21．2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（A类）和放丙手办（B类）盲盒，已知生产商每天生产A类手办比生产B类手办多200个，若单独生产12000个A类手办所需时间和单独生产8000个B类手办所用时间相同．（1）求生产商每天单独生产A，B两类手办的个数；
（2）两种手办某商家的购进价和售价如下表：
根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进A，B两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润；
（3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的B类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表：
根据试销情况，请你猜测并求Q与m之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价．
22．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行x min，收费yA元，且yA=25x；B品牌电动车骑行x min，收费yB元，且yB=6(0＜x≤10)ax+b(x＞10)，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
23．物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据：
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是 函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）
（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；
（3）当弹簧长度为16.5厘米时，所挂物体的质量是多少千克？
十六．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
24．已知a是一个正数，点（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函数y=-1x的图象上，则0，x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x3＜0＜x1＜x2B．x2＜x3＜0＜x1
C．x1＜x2＜0＜x3D．x1＜0＜x2＜x3
25．如图，点A（6，1）和点B在反比例函数y=kx(x＞0)的图象上，延长AB与y轴相交于点C．若AB＝2BC，则点C的纵坐标为 ．
十七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=6x(x＞0)的图象交于点A（a，b）和点B（a﹣4，3），P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，交反比例函数y=6x的图象于点Q．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）当△OPQ的面积为34时，求P点的坐标．
十八．反比例函数的应用（共1小题）
27．【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为24V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流y/A的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为3Ω（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为x/Ω（0≤x≤9）（串联电路中总电阻＝灯泡电阻+滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据（如表）：
（1）根据实验结果，填空：a＝ ，b＝ ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式： （0≤x≤9）；
（2）【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质： ；
（3）【深入探究】
已知一次函数y'=-43x+8(x≥0)，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当y≤y'时x的取值范围： ．
十九．二次函数的图象（共1小题）
28．若一次函数y=-abx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二十．二次函数的性质（共2小题）
29．如图，二次函数y＝x2﹣3x﹣4交坐标轴于A，B，C，点Q在以C为圆心半径为1的圆上运动，P为BQ中点，AP的最小值是 ．
30．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2的对称轴为直线x＝1，点B的坐标为（5，1），点C是抛物线上一动点，连接CB，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，当点D落在直线x＝1上时，点C的横坐标为 ．
二十一．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
31．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②a﹣b+c＞0；
③4a+2b+c＝0；
④抛物线的顶点坐标为（2，b）；
⑤当x＜4时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①③④⑤
32．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，有以下结论：
①4ac﹣b2＞0；
②若(-32，y1)，(12，y2)是图象上的两点，则y1＞y2；
③a+b+c＜0；
④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；
⑤3a+c＜0．
其中结论正确的是 ．
二十二．二次函数的三种形式（共1小题）
33．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣1）2+3
二十三．抛物线与x轴的交点（共3小题）
34．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为A（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞﹣1C．﹣1≤x≤3D．﹣1＜x＜3
35．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a为常数，且a＜0）．
（1）若a＝﹣1时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数的图象与直线y＝﹣2a+3有且仅有一个交点，求代数式a2+1a2的值．
36．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
二十四．二次函数与不等式（组）（共1小题）
37．抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n的图象如图所示，下列判断：
①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0； ④2a+b＜0；⑤当x＜12或x＞6时，y1＞y2．
其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二十五．二次函数的应用（共5小题）
38．综合与实践
如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为OD．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若OD＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请你说明理由．
39．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示；产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝ ，y2＝ ；
（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B产品的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
40．综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，
这段距离总共需要的反应时间为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过150km/h）进行测试，测得数据如下表：
探究任务：
（1）已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（km/h）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，在坐标系中描出点（x，y），顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：122＝144，152＝225，452＝2025，1052＝11025）；
（2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为28.8m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（3）若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方25m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议．
41．综合与实践
问题情境：
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，小球刚好落到斜坡上的点A处．
建模分析：
如图2，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴，建立平面直角坐标系．分析图象得出，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的竖直高度y（米）的几组对应值如表，且点A的坐标为（3，1.5）．
问题解决：
（1）求小球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的函数表达式；
（2）如图2，求小球在飞行过程中，距坡面的最大铅垂高度MN；
（3）如图3，设小球在飞行过程中的动点为P（P）不与O，A重合），连接OP，AP，直接写出△OAP面积的最大值．
42．某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线AEB和“矩形”ABCD构成，抛物线最高点E到地面CD的距离为7米，其横截面如图1所示，建立平面直角坐标系，已知CD＝12米，BC＝3米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中P，N在抛物线上，QP，NM垂直地面，PN平行地面），求“脚手架”的最大长度；
（3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为4米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过2米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图2所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数．
二十六．含30度角的直角三角形（共1小题）
43．图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离；
（2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
二十七．直角三角形斜边上的中线（共1小题）
44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（ ）
A．25B．210C．4D．42
二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题）
45．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A．529cmB．25cmC．2194cmD．441cm
二十九．多边形内角与外角（共1小题）
46．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
三十．垂径定理的应用（共1小题）
47．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则半径OC长为 寸．
三十一．圆周角定理（共3小题）
48．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，则∠ABD＝（ ）
A．116°B．64°C．58°D．32°
49．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是 ．
50．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分线交AB于点E，交⊙O于点F，连结AF，BF．
（1）若⊙O的半径为6，AD＝4，求弦CG的长；
（2）求证：AF＝EF．
三十二．扇形面积的计算（共1小题）
51．如图，在边长为1的正方形网格中，“x状”图案（阴影部分）是由半径分别为1和2，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是 ．
三十三．中心对称图形（共2小题）
52．2025年中国动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球．以下四图是某校美术社团绘制的哪吒风火轮的简笔画，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
53．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
三十四．相似三角形的应用（共1小题）
54．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（ ）
A．45B．25C．32D．23
三十五．解直角三角形的应用（共2小题）
55．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈l62R=3．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是（ ）
A．l12＝24Rsin15°B．l12＝24Rcs15°
C．l12＝24Rsin30°D．l12＝24Rcs30°
56．水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．
小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图2，若水轮⊙O在动力的作用下将水运送到点A处，水沿水槽AC流到水池中，⊙O与水面交于点B，D，且点D，O，B，C在同一直线上，AC与⊙O相切于点A，连接AD，AB，AO．
请仅就图2解答下列问题．
（1）求证：∠AOB＝2∠BAC．
（2）若点B到点C的距离为32cm，sin∠ACB=513．请求出水槽AC的长度．
三十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
57．【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生A】查阅学校资料得知树前的教学楼ED高度为12米，如图1，某一时刻测得小树AB、教学楼ED在同一时刻阳光下的投影长分别是BC＝2.5米，DF＝7.5米．
（1）请根据同学A的数据求小树AB的高度；
【学生B】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度h＝1.6米，在D处测得小树顶部的仰角α＝30°，测角仪到树的水平距离m＝4.2米．
（2）请根据同学B的数据求小树AB的高度（结果保留整数，2≈1.41，3≈1.73）．
三十七．简单组合体的三视图（共2小题）
58．如图是由3个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
59．如图是由一个长方体和一个圆柱组合而成的立体图形，从上面观察这个图形，得到的图形是（ ）
A． B． C．D．
三十八．全面调查与抽样调查（共1小题）
60．下面调查中，适合采用普查的是（ ）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查你所在的班级同学的身高情况
C．调查50枚导弹的杀伤半径
D．调查扬州电视台《今日生活》收视率
中考模拟卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2025的相反数是（ ）
A．2025B．-2025C．12025D．-12025
2．DeepSeek全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（ ）
A．3×106B．0.3×106C．3×107D．30×107
3．下列运算正确的是（ ）
A．a25=a7B．a-2⋅a4=a2C．2a2b-2ab2=0D．a22=a22
4．不等式2x+5≥3的解集是（ ）
A．x>-1B．x≥-1C．x≥4D．x≤-1
5．已知 Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3 是反比例函数 y=-5x 图象上的三个点，若 x1