数学（二）-2025年中考数学考前冲刺攻略（原卷版+解析版）

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第二辑
平面直角坐标系与函数………………………………………………………………………01
一次函数………………………………………………………………………………………20
反比例函数……………………………………………………………………………………41
二次函数………………………………………………………………………………………65
函数综合………………………………………………………………………………………96
01平面直角坐标系与函数
考查分值：分值在10-15分之间，具体分值因地区和试卷结构而异。
考查形式：选择题、填空和解答题均有。
命题趋势：与实际问题结合更紧密；跨学科融合增强；注重考查数形结合思想，要求学生能将函数图象与解析式相互转化，通过图象分析函数性质，利用函数性质解决图象问题；可能会出现条件开放、结论开放或解题方法开放的题目；常与几何图形结合。
知识点1：平面直角坐标
平面内画两条 相互垂直，原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系．
水平的数轴称为 横轴或 x 轴 ，取 向右 为正方向；
竖直的数轴称为 纵轴或 y 轴 ，取 向上 为正方向；
两坐标轴的交点称为平面直角坐标系的原点．
知识点2：象限
x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
知识点3：坐标系内点的特征
（1）x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0。
（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。
（3）点到轴及原点的距离：
点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。
（4） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
（5）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
知识点4：坐标的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数 a，相应的新图形就把原图形向右(左)平移 a 个单位长度: 如果把它各个点的纵坐标都加(或减去) 一个正数 a,相应的新图形就把原图形向上(下)平移 a 个单位长度
点的平移规律：
左右平移一纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移-横坐标不变，纵坐标上加下减
知识点5：函数的相关概念：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；
2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；
3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图象上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.
知识点6：函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法.
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
真题1（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形OABC的面积为（ ）
A．14B．11C．10D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，根据A、B、C的坐标可求出OM，AM，MN，BN，CN，然后根据S四边形OABC=S△AOM+S梯形AMNB+S△BCN求解即可．
【详解】解∶过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N，
∵O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，
∴OM=1，AM=2，ON=BN=3，CO=5，
∴MN=ON-OM=2，CN=OC-ON=2，
∴四边形OABC的面积为S△AOM+S梯形AMNB+S△BCN
=12×1×2+12×2+3×2+12×3×2
=9，
故选：D．
真题2（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标2为3,4，则顶点A的坐标为（ ）
A．-4,2B．-3,4C．-2,4D．-4,3
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出AC=OC=5是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5，从而可求出AD=2，即得出顶点A的坐标为-2,4．
【详解】解：如图，
∵点C的坐标为3,4，
∴OC=32+42=5．
∵四边形ABOC为菱形，
∴AC=OC=5，
∴AD=AC-CD=AC-xC=5-3=2，
∴顶点A的坐标为-2,4．
故选C．
真题3（2024·贵州·中考真题）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为-2,0，0,0，则“技”所在的象限为（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置．
【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，

故选A．
真题4（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
真题5（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）

A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
【答案】D
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意；
B、乙全程共用2-1=1h，原说法错误，不符合题意；
C、乙比甲早到B地4-2=2h，原说法错误，不符合题意；
D、甲的速度是20÷4=5km/h，原说法正确，符合题意；
故选D．
真题6（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选：D．
真题7（2024·江苏宿迁·中考真题）点Px2+1,-3在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限+,+；第二象限-,+；第三象限-,-；第四象限+,-．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点Px2+1,-3的横坐标x2+1>0，纵坐标-37时溶液呈碱性，当PH1的解集为x>0D．关于x的方程kx+b=0的解是x=1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式和一元一次方程之间的关系，一次函数图象与其系数的关系，由表格数据可得增减性，进而可得k>0，由当x=0时，y=1，得到b=1，据此可判断A、B、C；再由当x=1时，函数值为5，不是0可判断D．
【详解】解：由表格中的数据可知，y的值随x值的增大而增大，故A说法错误，不符合题意
∴k>0，
∵当x=0时，y=1，
∴b=1，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，故B说法错误，不符合题意；
∵当x=0时，y=1，y的值随x值的增大而增大，
∴不等式kx+b>1的解集为x>0，故C说法正确，符合题意；
∵当x=1时，函数值为5，不是0，
∴关于x的方程kx+b=0的解不是x=1，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
押题3某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A．y=0.3x+5（0≤x≤8） B．y=5x+0.3（0≤x≤8）
C．y=0.3x-5（0≤x≤8） D．y=5-0.3x（0≤x≤8）
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得y=0.3x+5（0≤x≤8），
故选：A．
押题4图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（ ）
A．x-y=12x-y=1B．x-y=-12x-y=1C．x-y=32x-y=1D．x-y=-32x-y=-1
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数图象交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项．
【详解】解：由图象可知两直线的交点为2,3，即方程组的解应为x=2y=3，
A、解方程组x-y=12x-y=1得x=0y=-1，故错误，不符合题意；
B、解方程组x-y=-12x-y=1得x=2y=3，正确，符合题意；
C、解方程组x-y=32x-y=1得x=-2y=-5，故错误，不符合题意；
D、解方程组x-y=-32x-y=-1得x=2y=5，故错误，不符合题意；
故选：B．
押题6已知一次函数y=kx+b的图象过点A1,m，B4,n，且m>n，则下列结论一定正确的是（ ）
A．k0C．b0
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由题意得出y随x的增大而减小，根据一次函数的增减性可确定k的值的范围．解题的关键是掌握一次函数y=kx+bk≠0的图象与性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当kn，
∴y随x的增大而减小，
∴k0，则当x>0时，函数y=kx图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
真题2（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=-1xx0的图象交于点B，则AOBO的值为（ ）
A．12B．14C．33D．13
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴S△ACO=12×-1=12，S△BDO=12×4=2，∠ACO=∠ODB=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC=∠OBD=90°-∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△ACOS△BDO=OAOB2，即122=OAOB2，
∴OAOB=12（负值舍去），
故选：A．
真题3（2024·江苏徐州·中考真题）若点A-3,a、B1,b、C2,c都在反比例函数y=-4x的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】a>c>b
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数y=-4x的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数y=-4x中，k=-40，b0)的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，由点A，B的坐标分别为5,0，2,6得BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，然后证明△ADN∽△ABM得DNBM=ANAM=ADAB，求出DN=2，则ON=OA-AN=4，故有D点坐标为4,2，求出反比例函数解析式y=8x，再求出E43,6，最后根据S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△OAD即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，则DN∥BM，
∵点A，B的坐标分别为5,0，2,6，
∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴DNBM=ANAM=ADAB，
∵BD=2AD，
∴DN6=AN3=13，
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA-AN=4，
∴D点坐标为4,2，代入y=kx得，k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=8x，
∵BC∥x轴，
∴点E与点B纵坐标相等，且E在反比例函数图象上，
∴E43,6，
∴CE=43，
∴S四边形ODBE=S梯形OABC-S△OCE-S△OAD=12×2+5×6-12×6×43-12×5×2=12，
故答案为：12．
真题6（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC=43，且点A落在反比例函数y=3x上，点B落在反比例函数y=kxk≠0上，则k= ．

【答案】8
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A32，2，OA=52，再求得点B4，2，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，

∵tan∠AOC=43，
∴ADOD=43，
∴设AD=4a，则OD=3a，
∴点A3a，4a，
∵点A在反比例函数y=3x上，
∴3a⋅4a=3，
∴a=12（负值已舍），则点A32，2，
∴AD=2，OD=32，
∴OA=OD2+AD2=52，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB=OA=52，AB∥CO，
∴点B4，2，
∵点B落在反比例函数y=kxk≠0上，
∴k=4×2=8，
故答案为：8．
真题7（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且点A,B都在第一象限．若A1,2，则点B的坐标为 ．
【答案】2,1
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据A1,2得出k=2，设Bn，m，则nm=k=2，结合完全平方公式的变形与应用得出m+2m=3，m2-3m+2=m-1m-2=0，结合A1,2，则B2，1，即可作答．
【详解】解：如图：连接OA，OB
∵反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且A1,2
∴2=k1，k=2
设Bn，m，则nm=k=2
∵OB=OA=22+12=5
∴m2+n2=52=5
则m+n2=m2+n2+2mn=5+4=9
∵点B在第一象限
∴m+n=3
把nm=k=2代入得m+2m=3，m2-3m+2=m-1m-2=0
∴m1=1，m2=2
经检验：m1=1，m2=2都是原方程的解
∵A1,2
∴B2，1
故答案为：2，1
真题8（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，点P为AB上一点，AP=x，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1>y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)y1=43x00；设水池2的边EF的长为xm0