2023-2024学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点，若，则
A．B．C．D．
2．（3分）“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00004用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
3．（3分）下列手机中的图标是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）下列图形中，由，能得到的是
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，点，点在直线上，，，下列条件中不能判断△△的是
A．B．C．D．
7．（3分）下列命题正确的是
A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等
B．如果，那么
C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件
8．（3分）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是
A．8B．10C．12D．14
9．（3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．
则中，第三项系数为
A．45B．50C．55D．60
10．（3分）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息请见表，则下列说法正确的是
A．当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态
D．甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分） ．
12．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 ．
13．（3分）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管．若，则 度．
14．（3分）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是，其中牛米千克，为万有引力常数；表示星球的质量（单位：千克）；米秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米．
15．（3分）如图，的两条高与交于点，，．是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则 秒．
三.解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
18．（7分）如图，，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
19．（8分）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由．
20．（8分）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门万花屏好汉坡大梧桐深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点表示 ．
21．（9分）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
， ，
．
在△中，
，
．
，即最小．
（2）如图4，在等边中，是上的点，是的平分线，是上的点，若，则的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点表示龙潭公园，点表示宝能广场，点表示万科里，点表示万科广场，点表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在宝能广场和万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到宝能广场、万科里、万科广场和龙城广场地铁站的距离的和最小．若点与点关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置（用点表示）．
22．（9分）【背景材料】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．
【初步探究】
（1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明；
【深入探究】
（2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点的某条直线对称，与交于点，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形．
2023-2024学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）如图，我们将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点，若，则
A．B．C．D．
【分析】直接利用对顶角的性质得出答案．
【解答】解：将食品夹的两边抽象为两条直线与，它们相交于点，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了对顶角、邻补角，正确把握对顶角的性质是解题关键．
2．（3分）“窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”这是杜甫眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00004用科学记数法可表示为
A．B．C．D．
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．（3分）下列手机中的图标是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：、，故本选项不合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不合题意；
、，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列图形中，由，能得到的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：、由，不能得到，故不符合题意；
、，，不能得到，故不符合题意；
、由，能得到，符合题意；
、由，不能得到，不符合题意，
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．（3分）如图，点，点在直线上，，，下列条件中不能判断△△的是
A．B．C．D．
【分析】在△与△中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【解答】解：，
，
、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定△△，故本选项不合题意．
、添加，可得到，不能判定△△，故本选项符合题意．
、添加，由全等三角形的判定定理可以判定△△，故本选项不合题意．
、添加，由全等三角形的判定定理可以判定△△，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）下列命题正确的是
A．两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等
B．如果，那么
C．任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件
【分析】由全等三角形的判定，绝对值，概率的意义以及随机事件进行分析判断．
【解答】解：、两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等，故原命题不正确；
、如果，那么，故原命题不正确；
、任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故原命题不正确；
、“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”是随机事件，故原命题正确．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的判定，绝对值，概率的意义以及随机事件，熟记相关概念或性质即可作答．
8．（3分）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是
A．8B．10C．12D．14
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得出，即可得到的周长．
【解答】解：如图，垂直平分，
，
，
又，
的周长，
故选：．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题时注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
9．（3分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．
则中，第三项系数为
A．45B．50C．55D．60
【分析】由题目可以得出一般规律：的第三项的系数为：，据此解答即可．
【解答】解：由题目中找规律可以发现：
的第三项的系数为：；
的第三项的系数为：；
的第三项的系数为：；
，
的第三项的系数为：；
的展开式中第三项的系数为：，
故选：．
【点评】本题主要考查了规律型：数字的变化类，“杨辉三角”展开式中，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．
10．（3分）在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息请见表，则下列说法正确的是
A．当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态
D．甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样
【分析】先对图象的交点及在一点范围内图象的性质进行分析，然后再对各条信息逐一判断即可．
【解答】解：由图象可以看出，
当温度为时，乙物质的溶解度等于，故选项说法错误，不符合题意；
当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高先减小后增大，故选项说法错误，不符合题意；
当时，分别向水中添加乙，则乙溶液最终一定能达到饱和状态，故选项说法正确，符合题意；
当时，甲、乙两种物质的溶解度一样，故选项说法错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分） ．
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算．
【解答】解：根据题意，恰好选中《算学启蒙》的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，某事件的概率某事件所占的计算数与总的结果数之比．
13．（3分）图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管．若，则 104 度．
【分析】依据题意，由已知条件，可得，又由于与是邻补角，则可得的度数．
【解答】解：如图所示，
，
．
与是邻补角，
．
．
故答案为：104．
【点评】本题考查了平行线的性质及邻补角的性质，需要熟悉角之间的转化是解题的关键．
14．（3分）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体一黑洞．施瓦氏半径（单位：米）的计算公式是，其中牛米千克，为万有引力常数；表示星球的质量（单位：千克）；米秒，为光在真空中的速度．已知某恒星质量为千克，则该恒星的施瓦氏半径为 米．
【分析】根据题意列式计算后将结果用科学记数法表示出来即可．
【解答】解：由题意可得该恒星的施瓦氏半径为（米，
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算及科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
15．（3分）如图，的两条高与交于点，，．是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则 或 秒．
【分析】依据题意，先由证明，求出，然后再分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值．
【解答】解：由题意，，，
．
．
又，，
．
．
①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
综上，或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键．
三.解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题6分，第18题7分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方化简，再合并同类项即可；
（2）根据单项式乘多项式化简，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
17．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】将原式利用平方差及完全平方公式化简后代入数值计算即可．
【解答】解：原式
；
当，时，
原式．
【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（7分）如图，，．
（1）求证：；
（2）若是的平分线，，求的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）先求出，再根据角平分线的定义求出，则由可得．
【解答】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
又是的平分线，
，
又，
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
19．（8分）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小明先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为．
（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ．
（2）若小明在区域内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是 ．
（3）为了尽可能不踩中地雷，小明点完第一步之后，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）直接利用概率公式计算；
（3）分别计算出踩在区域和踩在区域外的踩中地雷的概率，然后比较两个概率的大小，即可得出结论．
【解答】解：（1）小明如果踩在图中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：；
（2）若小明在区域内围着数字2的8个方块中任点一个，踩中地雷的概率是；
故答案为：；
（3）小明的第二步应踩在区域外的小方格上，
理由：踩在区域不踩中地雷的概率为，
踩在区域外不踩中地雷的概率为，
，
小明的第二步应踩在区域外的小方格上．
【点评】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．
20．（8分）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门万花屏好汉坡大梧桐深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 游览时间 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点表示 ．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）根据“速度路程时间“即可得答案；
（3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，进而得出答案；
（4）根据题意结合点的坐标解答即可．
【解答】解：（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为游览时间，因变量为小明步行的路程．
故答案为：游览时间，小明步行的路程．
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是．
故答案为：4．
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是（小时）．
故答案为：0.35．
（4）由图象可知，小明游览时间为，步行的路程为．
故答案为：小明游览时间为，步行的路程为．
【点评】本题考查了函数的图象，理清图象相关点的意义是解答本题的关键．
21．（9分）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
， ，
．
在△中，
，
．
，即最小．
（2）如图4，在等边中，是上的点，是的平分线，是上的点，若，则的最小值为 ．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点表示龙潭公园，点表示宝能广场，点表示万科里，点表示万科广场，点表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在宝能广场和万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到宝能广场、万科里、万科广场和龙城广场地铁站的距离的和最小．若点与点关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置（用点表示）．
【分析】（1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可；
（2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解；
（3）连接交于点，即可得解．
【解答】（1）证明：如图3，在直线上另取任一点，连结，，，
直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
，
在△中，
，
，
，即最小，
故答案为：；；；
（2）解：是的平分线，
可在上找到点关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，，
过点作，如图，
由垂线段最短可知，当点、、三点共线，且垂直时，有最小值，即的最小值是的长度，
等边三角形每条边上的高相等，
的最小值为，
故答案为：5；
（3）解：到、的距离和最小的点在线段上，
点与点关于对称，
到、的距离和最小的点是线段和的交点，
到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点，点即为所求作的点，如图，
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键．
22．（9分）【背景材料】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．
【初步探究】
（1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明；
【深入探究】
（2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点的某条直线对称，与交于点，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形．
【分析】（1）由得，再用证明，即可得证；
（2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可得证；
（3）证明，得到，再分别求出、，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形．
【解答】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：当时，仍成立，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
．
（3）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，
与关于沿着过点的某条直线对称，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握证明三角形全等是解题的关键．
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信息窗
1．溶质质量溶剂质量溶液质量．
2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
C
B
D
A
A
C
信息窗
1．溶质质量溶剂质量溶液质量．
2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．