江西省部分学校2025届高三考前演练 数学试题（一）（含解析）

这是一份江西省部分学校2025届高三考前演练 数学试题（一）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．2D．4
6．已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．4
8．设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为
C．在内有3个零点
D．在内有3个零点
10．已知实数满足，那么不存在这样的，使得（ ）
A．B．
C．D．
11．设样本数据的平均数为，中位数为，标准差为，则（ ）
A．若，则数据的平均数为
B．若，则数据的平均数为
C．不可能组成等边三角形的三边
D．有可能组成直角三角形的三边
三、填空题
12．已知集合，则的真子集个数为 ．
13．在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为 ．
14．著名的“冰雹猜想”定义了一个具有两种运算的函数，其定义域和值域均为正整数集：例如：设初始值为5，则接下来的复合运算为从集合中随机抽取一元素，使得的前五次复合运算分别为的概率为 ．
四、解答题
15．如图所示，在三棱台中，为等腰直角三角形，设为中点，若，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的余弦值．
16．设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知．
（1）求；
（2）若，求的范围．
17．已知．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知方程恰有3个实根，求的值．
18．已知为坐标原点，椭圆，双曲线与焦点相同，离心率互为倒数．线段是的一条弦，且中点在上．
（1）求的方程；
（2）求直线纵截距绝对值的最小值；
（3）求面积的最大值．
19．马路上有盏连续排列的灯，每盏灯亮的概率均为，记存在至少连续盏灯亮的概率为，已知．
（1）写出；
（2）设为连续亮的灯数最大值，求时的期望；
（3）求的值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，
即，，解得，
故选D
2．【答案】C
【详解】由有，令，
则，
所以，
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为，则，可得，
所以，故.
故选A.
4．【答案】B
【详解】
根据题意如图所示，过点做垂直于垂足为，
过做垂直于垂足为，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
，，
所以，
设点到平面的距离为，
，，
所以，
又因为四面体的体积为，所以四面体的体积为.
故答案为：B
5．【答案】D
【详解】因为中常数项为1，项的系数为，
所以的展开式中，的系数为，
故选D
6．【答案】A
【详解】若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故选A
7．【答案】B
【详解】设切点为，所以，所以直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，
令，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，
故选B.
8．【答案】B
【详解】由可得，
即，因此；
因此，
可得，
所以.
故选B
9．【答案】BC
【详解】对于A，由，显然不恒等于，即不是的周期，故A错误；
对于B，因，，则，故B正确；
对于C，，因，
则由可得，即零点有3个，故C正确；
对于D，，因，
则由有，即零点有4个，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，即，解得，
又，即，解得，所以，故A符合题意；
对于B，令，则，代入，可得，
展开可得，由可得，
即，故B不符合题意；
对于C，表示圆上的点与点连线的斜率，
设过点的直线方程为，即，
由圆心到直线的距离可得，
即，即不存在符合题意的，故C符合题意；
对于D，由可得，则，
令，则，所以，
且函数在上单调递增，所以，即，
即不存在符合题意的，故D符合题意；
故选ACD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，，
所以，若，
则数据的平均数为，正确；
对于B，若，则数据的平均数为，正确；
对于C，取，可得平均数为，中位数为，
标准差为，此时，
即有可能组成等边三角形的三边，错误；
对于D，取，可得平均数为，中位数为，标准差为，此时满足，即有可能组成直角三角形的三边，正确.
故选ABD
12．【答案】7
【详解】对于集合，当是，，当时，，
当时，，所以，
则其真子集的个数为.
13．【答案】/
【详解】因为，由正弦定理得，在中，，即，故，，
由余弦定理得，
又因为，
所以，
当即时等号成立.
14．【答案】/
【详解】设初始值为，
第一次运算为，所以为奇数，运算结果为；
第二次运算为，所以为偶数，运算结果为；
第三次运算为，所以为奇数，运算结果为；
第四、五次运算均为，所以为4的倍数.
设，，则，
因为，所以，.
所以，.
又，由.
所以满足题意的初始值有13个.
所以所求的概率为：.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：设中点为，
由于所以，
在底面中，由中位线性质可知，又
所以，且平面
故平面，在平面内，
所以，
又，为中点，
所以,为平面内两条相交直线，
所以平面.
（2）连接，
由（1）易知：两两垂直，如图建系，
由，，
则,
由（1）平面，在平面内，
所以，
所以，
可得：,
，
又，且同向，
则，
又，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，可得，
所以，又，
设直线与平面夹角为，
则，
所以，
即直线与平面夹角的余弦值，
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为为中点，所以，
所以
即，
又，所以，
即，
又由余弦定理，即，所以，
则；
（2）因为，
显然，所以，
即，
又
，，
所以，即
由正弦定理可得，
因为，不妨令，，建立平面直角坐标系，
由，所以点在以、为焦点的椭圆（除顶点外）上，
令椭圆方程为，则，，
所以椭圆方程为，当在椭圆短轴顶点时，此时无意义，
所以，则.
17．【答案】（1）在上递减，递增
（2）
【详解】（1）当时，求导得，
构造，求导得，
则当时，，所以在时单调递增；
则当时，，所以在时单调递减；
即，则，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）同理，由（1）得，
所以当时，有
则当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增．
此时方程最多只有两根，不满足题意；
则讨论的情形：
由，存在三个零点，分别为和1，
其中的零点由数形结合可得：
可知，
由此可得：当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
此时依次有2个极小值点和一个极大值点1，
因为，所以
则，
，
所以有，即两个极小值相等，
所以方程有3个实根，必然，
即．
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得椭圆的焦点坐标为，离心率为，
所以双曲线的焦点坐标为，离心率为，
即，所以的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线为，，
直线与双曲线联立方程组有：
，，
所以，
因为，
所以，得中点，
因为中点在上，所以，
整理化简得，即，得，
因为当且仅当时，即时等号成立，
即，所以直线纵截距绝对值的最小值为；
（3）

设面积为，
当直线斜率不存在时，由题意可知，直线与轴交点坐标为双曲线的左右顶点，
即，代入椭圆得，此时，
当直线斜率存在时，由（2）可知，，
由三角形面积公式得：，
代入可得：
，
令，因为，所以，
所以
当时，，
由于，所以面积的最大值是.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由于，所以，
而表示只有灯亮或只有亮，或者都亮的概率，
即.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，
则，
表示、、、、、、、、、、
、都亮，故，
表示、、、、、、、
、、、都亮，故，
表示、、、、都亮，则，
表示、都亮，则，
，
所以．
（3）显然当或时，，且；
对于，根据实际意义，存在连续盏灯亮包括以下两种情况：
（i）前盏已经满足有盏亮了；
（ii）前盏没有连续盏亮灯，且从到盏恰好为（不亮，亮，亮，亮），
所以有递推关系：，
令，则，且，，
则，，
，，
，
，
.
因此，.