江苏省徐州市第一中学2025届高三考前打靶卷 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z使得为纯虚数，则（ ）.
A．B．2C．D．4
3．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．3
4．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．1D．24
5．已知的内角，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直线与所成角的余弦值为
8．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为4
C．的最大值为2D．的最小值为
10．已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，互斥，则
B．若，相互独立，则
C．若，相互独立，则
D．若，则
11．设数列，，，记数列前n项和为，则（ ）
A．B．不存在
C．D．存在
三、填空题
12．已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ．
13．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是 ．
14．已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．锐角三角形中，角的对边分别为且.
（1）求；
（2）求三角形周长的取值范围；
（3）求三角形面积的最大值.
16．已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点.
（i）证明：在定直线上；
（ii）若直线与交于点，求的值.
17．设函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，讨论在上的单调性；
（3）当时，，求实数的取值范围.
18．如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点．
(1)求证：平面平面．
(2)已知，，，点是线段上的动点．
（ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19．近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
（1）某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．
若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
（2）该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
(ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
(ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选D.
2．【答案】B
【详解】设，
则，
所以，，
即，所以.
故选B
3．【答案】B
【详解】由共线，则，，
所以①，
由共线，则，，
所以②，
由①②知：，则，故，
由，则，
由共线，则，可得.
故选
4．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.
所以二项式的展开式中，常数项为：.
故选D
5．【答案】D
【详解】因为，得，
所以，
因为，所以，
即，
因为，，是的内角，所以，得，，
所以.
故选D.
6．【答案】A
【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点，
所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，，
由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形是矩形，
所以，，所以点在圆上，
则，解得，代入椭圆方程，
又，可得： ，
设（），则上式可化为，
化简可得， 即，
因为，所以，解得.
所以椭圆的离心率为.
故选A.
7．【答案】D
【详解】对于A，由题意，
，故A错误；
对于B，记，
所以，，
所以，，故B错误；
对于C，，
所以
，故C错误；
对于D，因为，,
所以，，
，
又因为
，
所以，所以直线与所成角的余弦值为.
故D正确.
故选D.
8．【答案】A
【详解】先证明：在处切线方程为,且整个函数图象都在切线上方.
,切线方程为,即为.
令,
在时,单调递减，在时,单调递增，
所以,当且仅当时取等号.
再证明：在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方.
,切线方程为,即为,
令,
在时,单调递增，在时,单调递增，
所以,当且仅当时取等号.
根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数恰有3个零点的条件.
设零点条件： 即 ,需分别分析 和 时方程的解数.
当 时：方程化简为 ，
即 即和.
分情况讨论：
当：方程 在 时有 3 个解
（分别来自 (两个)、 (一个)）.
当：和的解都是.
：方程在 时仅有 1 个解（来自 ）.
当 时：方程化简为 ，即 ,
即和.
分情况讨论：
：方程 和 各有1 个解.
：方程 无解， 一个解.
：
当 时方程 无解，有 1个解.
当 时 方程 和 都没有解.
总解数分析：
： 时 3 解， 时无解，总解数 3.
： 时 2 解， 时 1 解，总解数 3.
其他区间：解数不足 3，不符合条件.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式.
已知，，则，所以选项正确.
对于选项，若，相互独立，则与也相互独立.
因为，所以，所以选项错误.
对于选项，若，相互独立，则.
根据概率的加法公式，将，，代入可得：
，所以选项正确.
对于选项，已知，，则.
，.
根据条件概率公式，所以选项正确.
故选ACD.
11．【答案】AD
【详解】观察前几项：，，，，，
可猜测奇数项在下方，偶数项在上方，
假设数列收敛于，则满足方程：
解得或，由于初始值，且递推式中分母，
故收敛于，现进行数学推导，
若，则，
，
分子化简为，
由于，且，
分子可进一步化简为，
因为，所以整体分子为正数，
故，即，
若，则，同理，分子化简为，
由于，故，
即，假设接近，误差很小，
当时，设，
，
因为是方程的解，
通过近似（很小，分母中的可忽略）得到，
进一步化简为，
因此，误差，
当时，设，类似推导可得，
误差仍满足，
每次误差缩小倍，因此第项的误差为，
故，，
由于，故，故A正确；
根据递推关系，误差，且，
通过递推可得通项公式，
因此，，将与右侧表达式对比，
，
需判断是否存在使得，
两边同除以得，
由于，当足够大时，会趋近于 ，最终小于，故B错误；
是首项为，公比为的等比数列，
，
当时，，
故。比较与，
显然，故C错误；
当时，，
存在，故D正确.
故选AD.
12．【答案】
【详解】
在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为.
设点，根据抛物线的定义，可得，解得.
把代入，得，因为，所以，即.
将圆化为标准方程： ，从而圆心为，半径.
故.
13．【答案】
【详解】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心，
因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2，
所以，则
所以高．
由球心到四个顶点的距离相等，
在直角三角形中，，，
由，得，，
所以外接球的半径为，表面积为：.
14．【答案】
【详解】由题意得，对任意，存在，使成立，则成立，
由函数可得 ，
当 或时，有 ，故在上 单调递增；
当时，有，故在上单调递减，
当时，；当 时，，所以 ，
又函数的开口向上，且对称轴的方程为，
当即时，，
由，解得，不合题意，舍去；
当即时，，
由，解得，符合题意；
当即时，，
由，解得或，不合题意，舍去.
综上所述，实数的取值范围是 ．
15．【答案】（1）
（2）
（3）.
【详解】（1）由正弦定理：，
则，
所以，根据得：.
（2）由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
（3）余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.
16．【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）圆的方程化为标准形式为，
所以圆心，半径，则的半焦距，
又的两条渐近线方程为，即，
由题意，知，所以，
所以的方程为.
（2）（i）设直线的方程为：，易知，
联立方程消去得，
则，
.
因为是上的点，所以，
则，
联立直线，直线的方程，
得，
所以
.
解得，故点在定直线上.
（ii）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，
点在直线上，所以，
点在直线上，所以，
所以
.
17．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）当时，，
，即切点为，
，则切线的斜率，
切线的方程为，即.
（2）依题意定义域为，
，
①若，则，，即在上单调递增，
②若，由，则，
当时，则，，在上单调递增，
当时，则，时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间上单调递增，
（3），
依题意当时，，整理可得（*），
当时，，（*）成立---①，
当时，（*）可变式为成立，
设，等价于---②，
，
设，，
， ，，
则在区间上单调递减，，
因为时，，时，，
在区间在单调递增，在区间在单调递减，则，
由②可知，当时，，只需满足，
由①②可得，当时，成立，实数的取值范围.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）存在，为线段上靠近点的六等分点；（ⅱ）．
【详解】（1）证明：因为，且为的中点，所以，．
又因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以．
又因为平面，平面，所以平面．
同理，，且，所以四边形为平行四边形，则．
又平面，平面，所以平面．
又，平面，且，所以平面平面．
（2）（ⅰ）取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接．
因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，
所以，，，，．
在中，，所以，所以．
所以二面角为直二面角，所以平面平面．
又平面平面，平面，所以平面．
因为平面，所以，所以两两垂直．
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
因为点是线段上的动点，所以设，所以．
假设存在点使得与垂直，则，
所以，即，解得．
故当时，点为线段上靠近点的六等分点．
（ⅱ）设平面的法向量为，
则令，则，，
所以平面的一个法向量为．
由（ⅰ）知，．
设直线与平面所成角为，
则，
易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为．
【方法总结】利用空间向量求解立体几何问题的一般步骤
（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；
（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求
出法向量；
（4）将空间位置关系转化为向量关系；
（5）根据公式求出相应的角或距离.
19．【答案】（1）大约有71人
（2）(ⅰ)分布列见解析，；(ⅱ)证明见解析，
【详解】（1）解：，．
，
．
，
．
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人．
（2）解：(ⅰ)的可能取值为．
；
；
；
所以的分布列为：
．
(ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为，
当时，
，
得：，
由①得：
，其中
是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
由聚点数列的定义知：，
当时，，
所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点.
月份
1
2
3
4
5
睡眠质量显著改善人数
280
250
200
160
110
X
0
1
2
P