2024-2025学年湖北省恩施州高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省恩施州高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若α=3rad，则α的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
2.设a,b为非零向量，若(a+b)⋅(a−b)=0，则( )
A. a=−bB. a=bC. a⋅b=0D. |a|=|b|
3.已知函数f(x)=cs(x+θ)，θ∈(−π,π)，若函数f(x)在x=π4处取得最小值，则θ=( )
A. −34πB. −π4C. π4D. 34π
4.学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为( )
A. 16B. 12C. 8D. 4
5.△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则BE=( )
A. −34AB+14ACB. 34AB−14ACC. 54AB−14ACD. −54AB+14AC
6.△ABC中，csA=13,O为△ABC的外心，则sin∠OBC=( )
A. 2 23B. 23C. 13D. 66
7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E是AB的中点，则点A到平面EB1D的距离为( )
A. 66B. 64C. 63D. 62
8.锐角△ABC的内角A，B，C满足sinC−sinB=2sinBcsA，则sinBsinC的取值范围为( )
A. (0,12)B. (13,1)C. (0,1)D. (12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足(z−+1)i=zz−−1，则z的虚部为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
10.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)=cs(2x−π3)
B. 点(−11π12,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心
C. 函数g(x)=sin(x+π6)图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数f(x)的图象
D. 函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到的图象关于y轴对称
11.已知函数f(x)=esinx−e−sinx，则下列说法正确的是( )
A. f(x+π2)是偶函数B. f(x+π)=−f(x)
C. 函数f(f(x))在(0,π)内有零点D. 方程f(x)=83无解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知1+sin2α2cs2α+sin2α=1，则tan2α= ______．
13.已知非零向量a=(m,0)，b=(1,1)，若b−a与b的夹角为π4，则m= ______．
14.记一个长方形的长为a，宽为b，a>b且a，b∈N∗.若a+b=ab4−1，则该长方形周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(x+π4)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤cs(x+π4)+m对x∈R恒成立，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=1，AC=2，过点A作PB、PC的垂线，垂足分别为E、F．
(1)求证：AE⊥平面PBC；
(2)求PA与平面AEF所成角的正切值．
17.(本小题15分)
某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长(单位：小时)的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数；
(2)若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级80%的学生；
(3)若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为8−m，m+3，3m+1，当其方差s2最小时，求m的值．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A,B,C,m=( 2sinA+B2,csA−B2),|m|= 62．
(1)求tanAtanB的值；
(2)求C的取值范围；
(3)若M是边AB上的一点，当∠ACB最大时，MC=(−1, 3)，求AC的长．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=BC=AD=2．
(1)若∠BAD=π3,AB=CD，记三棱锥P−ABC外接球的球心为O．
(i)求证：OD//平面PAB；
(ii)求三棱锥P−ABC外接球的表面积．
(2)记∠BAD=θ,θ∈(0,π2)，当∠ABC=π2+θ时，求三棱锥P−BCD体积的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：根据α=3rad∈(π2,π)，可得90°