广东省深圳市31校联考2025届九年级下学期二模数学试卷(含解析)

这是一份广东省深圳市31校联考2025届九年级下学期二模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．截至2025年3月27日，电影《哪吒2》全球票房为153.78亿，用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．近些年来随着人们健康意识的增强，马拉松逐渐成为大家喜爱的运动．下表是某地举办的一次马拉松比赛中，共100名队员跑完全程的用时统计表．则这100名队员跑完全程所用时间的中位数应落在（ ）
A．3-3.5小时B．3.5-4小时C．4-4.5小时D．4.5-5小时
5．在“双减”政策推动下，学校开展了丰富多彩的社团活动．书法社和绘画社开始招募新成员．起初，书法社的报名数比绘画社报名数的还多人；后来，绘画社有人改报了书法社，此时，书法社的报名数是绘画社报名数的倍．设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cmB．C．D．
7．下列尺规作图中，点到三角形三个顶点的距离相等的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题
9．若，则 ．
10．随着人工智能大模型的发展，某大模型训练需要用到，，，四类数据，其中类数据有20亿文本，类数据有30亿文本，类数据有50亿文本，类数据有40亿文本，现随机从这四类数据中抽一条文本，则抽中类数据的概率为 ．
11．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为 平方米．
12．如图，身高1.6米的小亮站在点测得旗杆的仰角为，小亮向旗杆走了6米到达点，测得旗杆的仰角为，则旗杆的高度为 米．（，，）
13．如图，在直角三角形纸片中，，，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则 ．
三、解答题
14．计算：．
15．在化简的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
(1)小深解法的依据是______，小圳解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．
16．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．为了帮助学生更好地管理体重，深圳某初中学校开展了一项体重管理计划，随机抽取了100名学生进行体重指数（）调查．的计算公式为：，根据世界卫生组织的标准，分类如下：
调查结果如表所示：
(1)小明身高为，指数为20，则小明的体重为______；
(2)以下是部分统计图表，请根据表格数据补齐空缺部分．
(3)根据以上图表，请你给出一条合理的建议．
(4)学校计划从体重正常的2个男生和2个女生中，抽取2名学生介绍体重管理经验，求抽取出来的学生恰好是一男一女的概率．
17．背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
（1）球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
（2）篮筐的高度为3.05米；
（3）小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．
(1)求小李投篮时，篮球出手时的高度；
(2)在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．
18．如图，内接于⊙，是⊙的直径，点，在直径上，，．
(1)求证：；
(2)的延长线交于点，若，，求的半径．
19．【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
任务1：
（1）同理可得，的取值范围是______，的取值范围是______．
（2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是______．
20．在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
时间
3小时内
3-3.5小时
3.5-4小时
4-4.5小时
4.5-5小时
5小时以上
人数
5
12
28
25
17
13
范围
分类
体重过轻
体重正常
超重
肥胖
分类
人数
体重过轻
10
体重正常
50
超重
30
肥胖
10
《2025年广东省深圳市31校联考二模数学》参考答案
1．D
解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．C
解：因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为不是同类项，不能合并，所以D不正确.
故选：C.
3．B
解：亿，
故选：B．
4．C
解：前三组总人数为，所以第50,51个数都在4-4.5小时内，所以中位数落在4-4.5小时.
故选：C.
5．A
解：设起初报名书法社的为人，报名绘画社的为人，
由题意得，，
故选：．
6．D
解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
7．C
解：点到三角形三个顶点的距离相等，
所以点为三角形三边的垂直平分线的交点，
观察四个选项，C选项符合题意．
故选：C．
8．D
解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三角形面积始终为2，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角），
∴，
又∵（当且仅当等号成立），
∴的最大值为，
故选：D．
9．4
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
10．
解：根据题意，得抽中C类数据的概率是.
故答案为：.
11．20
解：∵，且，
∴，
解得.
所以房间的最大面积是20平方米.
12．
解：
在中，
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
答：旗杆的高度为米；
故答案为：．
13．/
解：法一：设与相交于O，过D作于H，
∵．是中点，
∴，
又，，
∴，，
∵A、关于对称，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
法二：以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图，
则，，，
设与的交点为F，作轴于点，
∵是中点，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∵，即，
∴，，
同理，，，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：原式,
.
15．(1)②，③
(2)见解析
（1）解：小深解法的依据是：分式的基本性质；
小圳解法的依据是：乘法分配律；
故答案为：②，③；
（2）解：小深：原式
；
小圳：原式
．
16．(1)51.2
(2)见解析
(3)建议中学生加强体育锻炼，控制体重
(4)
（1）解：，
∴小明的体重为；
（2）解：超重的人数占比为，
补全统计图如下：
（3）解：建议中学生加强体育锻炼，控制体重；
（4）列表：
有表格可知，共有12种等可能情况，其中恰好为一男一女的有8种；
∴（抽取出来的学生恰好是一男一女）．
17．(1)米
(2)无法完成，见解析
（1）解：以点为原点建立平面直角坐标系，
设，
将点代入，
解得
∴
当时，得
∴米
（2）解：令，
（米）
∵米米，
∴小姜同学无法完成此次防守．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点，连，．
∵，
又∵，
∴，
∴，为中点，
又∵为直径，
∴，
∴，
，
∴，
由（1）知，
∴，得，
∴，
∴半径为
19．任务1：（1），；（2）见解析；任务2：见解析；任务3：
解：（1）∵
∴
∵
∴
解得
∴；
∵
∴
∵
∴
解得
∴；
（2）∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴
∴；
任务2：设，，，
∵，，，
∴，，，
∴如图所示，作三边中点D，E，F，连接，，，
∴内部即为所求范围．
任务3：根据题意得，
∵是等边三角形，D，E，F分别是，，的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是．
20．（1）；（2）；（3）
（1）∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴，
∵都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴，相似比为
∴
∵
∴
∴
男1
男2
女1
女2
男1
——
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
——
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
——
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）
——