广东省深圳市31校2025届九年级下学期第一次模拟考试数学试卷(含解析)

这是一份广东省深圳市31校2025届九年级下学期第一次模拟考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列式子运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
5．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）

A．B．C．D．
7．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（ ）
A．2秒B．4秒C．秒D．秒
二、填空题
9．因式分解： ．
10．关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是 ．（只需写出一个即可）
11．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是 ．
12．如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为 ．
13．在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
16．小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
甲、乙两种吉他得分统计表
(1)________，________；
(2)从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
(3)你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
17．根据以下素材，探索完成任务．
18．在矩形中，连接．
(1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
19．综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
20．综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
(1)【探索发现】如图1，过点作，求证：；
(2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
(3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
甲（分）
81
82
83
88
90
90
90
92
95
乙（分）
74
75
85
88
89
90
91
97
97
品牌
平均数
中位数
众数
甲
87.9
90
乙
87.3
97
学校如何购买保洁物品
问题背景
自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1
为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2
商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3
商店提供以下两种优惠方案：
方案1：两种商品按原价的8折出售；
方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1
确定物品单价
请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2
探究购买方案
如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
《广东省深圳市31校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷》参考答案
1．D
解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．C
解：，
故选：．
3．B
解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．A
解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故选：A．
5．D
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
解：如图，作于，地面于，

依题意可得：，，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故选：A．
7．B
解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故选：B．
8．C
解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故选：C．
9．
解：，
故答案为：．
10．0
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
解得：，
∴的值可能是，
故答案为：．
11．
解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
12．8
解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
13．
解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
14．
解：
．
15．，
解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
16．(1)，
(2)甲
(3)建议购买甲品牌，理由见解析
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
17．任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条
任务1：
解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：
设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：
，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：
，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
19．（1）；（2）；（3）或
解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
（3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
20．(1)见解析
(2)当时，，；当时，，
(3)
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在 中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．