2025届高考数学思想方法大合集-运用函数与方程思想解决数列问题讲义

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在高中数学中，运用函数与方程的思想求解数列问题，主要是将数列的通项公式、递推关系等转化为函数或方程的形式，然后利用函数的性质和方程的解法来研究数列的性质和求解数列的项.具体来说，可以分为以下几个步骤：
确定数列的类型：首先判断数列是等差数列、等比数列还是其他类型的数列，因为不同类型数列的通项公式和递推关系有所不同.
建立方程或函数关系：对于等差、等比数列，可以利用其通项公式建立方程.如果数列的递推关系已知，也可以将其转化为方程形式.
利用函数性质求解：根据数列的通项公式或递推关系建立的方程，可以利用函数的单调性、周期性、奇偶性等性质来分析数列的性质，如判断数列的增减性、求出数列的不等关系等.
求解具体问题：根据数列的性质和方程的解法，求解数列的通项、求和、项数等问题.例如，利用等差数列或等比数列的求和公式求解数列的前n项和.
检验和验证：最后，将求得的结果代入原数列的递推关系或通项公式中进行检验，确保结果的正确性.
通过以上步骤，可以将函数与方程的思想应用于数列问题的求解，从而有效地解决高中数学中的数列问题.
类型一 函数与方程思想在通项公式的应用
【典例1】（2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二））设数列的前面和为，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【解题策略】
根据给定条件，利用方程，结合已知变形构造数列，求出表达式，进而求出即可判断得解.
【详细解析】
数列中，由，得，整理得，
则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，即，而满足上式，
因此，，，ABD错误，C正确.
故选：C
【典例2】（湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三上学期8月联考）数列是等差数列，且满足，则 .
【解题策略】利用方程的思想，将和作差，根据已知条件对赋值可得到公差，再令，即可解得.
【详细解析】
由，则，
两式相减得，
即，而题设数列为等差数列，故数列公差为，
令，则，可得，
则，解之可得
故答案为：
【典例3】设数列的前项和为，已知.
设，证明数列是等比数列；
求数列的通项公式.
【解题策略】根据题中条件及发现是解题的关键，从而把递推公式看作方程进行恒等变形.本题不论是第（1）问的证明还是第（2）问的求通项公式，方程变形能力将起到重要作用.同时，求通项公式，构造新的特殊数列可使问题迎刃而解.
【详细解析】
证明：由已知有，解得，故.
又，
于是，即.
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列.
由（1）知等比数列中，，公比，所以，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以.
【方法归纳】函数与方程思想在高中数学通项公式中的应用方法归纳如下：
理解函数与方程的基本概念：首先明确函数的定义域、值域、单调性等特性，以及方程的解的含义和求解方法.
分析问题中的函数关系：在解决涉及通项公式的问题时，首先要分析问题中给出的数列或序列与函数之间的关系，确定数列的通项公式是否可以表示为某个函数的表达式.
利用函数性质求解：根据函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性等，来推导数列的性质，进而求解通项公式.
建立方程求解：对于一些特定的数列问题，可以通过建立方程来求解通项公式.例如，利用递推关系建立方程，或者将数列问题转化为函数的零点问题.
通过以上方法，可以将函数与方程的思想应用于高中数学通项公式的求解过程中，提高解题效率和准确性.
【举一反三】
（广东省大湾区2025届高三上学期9月统一调研考试）
记为数列的前n项和，且，，则（ ）
A．B．C．D．
数列满足，且，则等于（ ）
A．148B．149C．152D．299
类型二 函数与方程思想在数列求和的应用
【典例1】（福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测（一））记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【解题策略】利用等差数列前n项和公式，联立方程组，可求出通项公式，再利用裂项相消法，求出数列的前n项和，即可求得.
【详细解析】
因为是等差数列，可设公差为，由，
可得，解得：，
所以，
再由得：，
则数列的前n项和分别为，
即，
所以，
故选：A.
【典例2】（广东省江门市第一中学2024届高三下学期龙门一跃考试）若数列满足，数列的前n项和为，则 .
【解题策略】根据递推公式，结合函数的性质，求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出.
【详细解析】
由，则，
当时，上式相加，得，
所以，又符合上式，可知，
所以.
故答案为：
【典例3】（1）在等比数列中，已知，求的前8项的和；
在等差数列中，已知，前项的和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；
在等差数列中，已知，求.
【解题策略】
数列一般包含着多个基本量，如首项、公差（公比）、项数、前项和等.在知道一些量求其他未知量时（即通常讲的“知三求二”这类等差、等比数列的基本题型），通常用方程的思想去解决.
数列的通项公式、前项和公式是特殊的函数.对于数列的最值问题往往需要构造函数，利用函数的单调性来解决最值问题，这也是函数思想在数列中的应用，特别提醒这一隐含条件.
一个数学问题可以从不同的视角进行分析.如第（3）问，可以套用公式，列方程，解方程组的“通性通法”求解；可以由公差不为0的等差数列前项和这个公式，结合二次函数的性质求解；可以创造一个“和数列”，即对等差数列每10项分成一组，每组的和作为一项构造新数列：，仍然是一个等差数列，以此求解；可以根据等差数列的性质，即，且，则进行整体代换求解；还可以构造这一关于的一次函数，利用点共线求解.基础题型，解法多样.函数与方程的思想这一主线贯穿其中，可拓展“多元解题策略”的视野，供读者赏析.
【详细解析】
设数列的公比为，由通项公式及已知条件得，①
，②
由②得.
将代入①式得，无解，故舍去.
将代入①式得..
当时，；
当时，.
，.，.
.
当或13时，有最大值，且最大值为.
解法一：设数列的公差为，则
解得.
.
解法二：设，则
解得.
.从而.
解法三：将数列依照原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列：，，，…，，则这个数列是一个首项为，第10项为的等差数列，设新数列的公差为，则该数列的前10项和等于，
，解得.
于是前11项和.
解法四：.
又由，
.
解法五：形式上是关于的“一次函数”.
点共线.
则，
解得：.
【方法归纳】函数与方程思想在数列求和中的应用方法归纳如下：
利用函数的单调性判断数列的增减性，进而分析数列求和的性质.
通过构造函数，将数列求和问题转化为函数求值问题，利用函数的性质简化求和过程.
应用方程思想，将数列求和问题转化为求解方程或方程组的问题，通过解方程得到数列的通项公式或求和公式.
结合数列的递推关系，构造相应的函数关系，通过递推函数求解数列的和.
在处理复杂的数列求和问题时，可以尝试将数列分组，每组视为一个函数，利用函数的性质简化计算.
对于特定类型的数列，如等差数列、等比数列等，可以利用其通项公式和求和公式，将数列求和转化为函数的求和问题.
通过上述方法，可以将函数与方程的思想应用于数列求和问题，从而达到简化问题、快速求解的目的.
【举一反三】
设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ）
A．B．C．D．
类型三 函数与方程思想在数列单调性的应用
【典例1】（湖北省部分学校2024届高三下学期新高考信息考试数学试题二）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A. B.0 C.1 D.2
【解题策略】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.
【详细解析】
因为，时，，
时，，
所以，，，
因为为等差数列，所以，，
从而，，
所以，即，
则当时，恒成立，
，解得或，
只有选项A符合题意，
故选：A
【典例2】设数列的前n项和为，且.若对恒成立，则的取值范围为 .
【解题策略】由与的关系，可求得，进而求出与的值，当时，可得两个等差数列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得的取值范围.
【详细解析】
法一：因为，当时，，两式相减得，则，两式相减得.
当时，，则；当时，，则.
则.
要使对恒成立，则即解得，
所以的取值范围为.
法二：，当时，，
两式相减得，则，
两式相减得，所以数列都是以2为公差的递增数列，
要使对恒成立，只需而，
则解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
【典例3】已知关于的不等式，对于一切大于1的正整数都成立，试求实数的取值范围.
【解题策略】
数列是定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数.本题不等式左边是数列和的形式，右边是含参数的对数，探究的是对一切大于1的正整数不等式都成立，求的取值范围.关键是对不等式左边的和式要吃透.若设和式为，这是一个关于的函数，则必然要注意此函数的性质求且的最值.而要求的最值，必须判断的单调性，所以应讨论的正、负号，从而得.解此不等式求得的取值范围.
【详细解析】
设.
是关于的递增函数，当时，.
要使对于一切恒成立，
必须且只需，即.
，解得.
故所求的取值范围是.
【方法归纳】
函数与方程思想在数列单调性的应用方法归纳：
理解数列单调性的定义：数列的单调递增或单调递减是指对于数列中任意相邻的两项，前者小于等于后者（单调递增）或前者大于等于后者（单调递减）.
利用函数的单调性来判断数列的单调性：如果数列的通项公式可以表示为某个函数的值，那么可以通过分析该函数的单调性来确定数列的单调性.
分析递推关系：对于递推数列，通过递推公式分析相邻项之间的关系，判断数列的单调性.例如，若数列满足递推式，且函数在某区间内单调递增，则数列在该区间内也是单调递增.
【举一反三】
设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ）
A．11B．12C．20D．21
已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（江苏省南通市名校联盟2025届高三上学期模拟演练性联考）
定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ）
数列的通项公式为
实数的取值范围是
时，数列中的每一项都不能够被5整除
（辽宁省部分重点高中2024届高三二模扣题卷（一））
若，设，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
（河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（四））
已知是递增的等比数列 ，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（ ）
A．8B．7C．5D．4
（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（八））
已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 .