2025届高考数学思想方法大合集-函数、方程、不等式之间的转化技巧讲义

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在高考数学中，函数、方程与不等式是三个紧密相连且相互转化的重要概念.这种相互转化的思想不仅体现在解题过程中，也贯穿于整个数学学科的理论体系中.
首先，函数与方程之间的转化是数学中最为基础和常见的.函数在特定条件下可以转化为方程f(x)=0，方程的解即为函数图象与x轴的交点.反之，方程也可以看作是函数的特殊形式，通过求解方程可以得到函数的特定性质，如零点、极值点等.这种转化在处理函数问题时尤为重要.
其次，不等式与函数之间也有着密切的联系.不等式可以看作是函数值域的一种特殊形式，即函数值在某个区间内满足一定的条件.因此，研究函数的性质（如单调性、最值等）往往需要借助不等式作为工具.同时，不等式问题也可以通过构造函数、利用函数的图象和性质进行求解.
此外，方程与不等式之间也可以相互转化.在某些情况下，方程可以看作是不等式的一种特殊情况（即等号成立的情况），而不等式则可以看作是对方程解的一种约束条件.因此，在处理方程和不等式问题时，可以灵活运用这种转化思想来简化问题、求解问题.
综上所述，函数、方程与不等式之间的相互转化思想是高考数学中的重要内容之一.掌握这种思想不仅有助于解决具体的数学问题，也有助于深入理解数学学科的本质和内在联系.
类型一 函数与方程的相互转化
【典例1】（2025届广东中山华侨中学高三一模）函数在区间上的零点个数为（ ）
A.1个 B.4个 C.2个 D.0个
【解题策略】根据函数，由零点意义转化得出方程，通过移项相除转化变形为，并探讨和的最值即可得解.
【详细解析】
当时，由得即，
当时，恒成立，而恒成立，
因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D.
【典例2】（江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考）已知函数，则函数的所有零点构成的集合为＿＿＿.
【解题策略】函数是分段函数，方程是复合函数构成的的零点，即，根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可.
【详细解析】
因为函数
所以等价于或，
求解可得，，
即或或或，
求解可得，，
故答案为：.
【典例3】（2025届河南省部分重点高中高三九师联盟模拟预测）设且，函数.
当时，求不等式的解集；
若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【解题策略】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；
将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可.
【详细解析】
当时，不等式可化为，
若，则，解得，
所以不等式的解集为；
若，则，解得，
所以不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
由题意可知，
令，即，因为，所以，
所以，所以，
设，则，
因为函数在上单调递减，
所以，所以.
【方法归纳】
函数与方程的相互转化是高中数学中的一个重要技能，以下是一些常见的转化方法：
方程转化为函数：将方程中的未知数视为变量，将方程转化为关于这个变量的函数表达式.
函数转化为方程：将函数中的变量关系转化为方程形式.
利用函数的性质转化：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，将函数转化为方程.
【举一反三】
（九师联盟2025届高三上学期10月联考）
已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式求解即可.
【详解】由，记．
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，结合图象知，若函数与的图象有两个交点，
即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得．
故选:A．
（湖南省邵阳市邵东市第四中学2025届高三第二次月考）
已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
B．
D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象，由图象可知，方程只有个根，则方程有个根，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，，
由可得或，
由题意可知，关于的方程、共有五个根，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，方程只有个根，故方程有个根，则.
故选：B.
类型二 函数与不等式的互相转化
【典例1】（九师联盟2025届高三上学期10月联考）设函数若，则的取值范围是（ ）
B.
D.
【解题策略】函数为，利用不等式分当和两种情况进行求解即可得答案.
【详细解析】
当时，则，解得；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
故选：A.
【典例2】（江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期期初检测）设函数，则使得成立的的解集是＿＿＿.
【解题策略】函数是，不等式是复合函数的不等式，判断函数的性质，再利用性质求解不等式
【详细解析】
函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数，
不等式化为，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【典例3】（广东省八校2025届高三上学期8月联合检测）已知函数.
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围.
【解题策略】本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题.
对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立.
函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得；
将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围；
由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.
【详细解析】
的定义域为，
当时，时，时，；
当时，..时，；
当时，时，；时；
当时，时；时；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是.
令得，
设，则，
当时，在上递减；当时，在上递增，
则.
又因时，时，作出函数的图象，
由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使，
即，故的取值范围是.
由得，
因，即得，（*），
易得时，不等式成立，
设，，
则，
当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立；
当时，设，
则方程有两根，，可得
当时，，则，在上单调递减；
又，所以当时，，不满足条件，
综上，的取值范围是.
【方法归纳】
函数与不等式之间的转化是高中数学中的一个重要技能，以下是一些常见的转化方法：
一次函数与不等式：一次函数的图象是一条直线，当时，直线从左下到右上倾斜；当时，直线从左上到右下倾斜.不等式或可以通过画出直线来解决，根据直线的倾斜方向和截距确定解集.
二次函数与不等式：二次函数的图象是一条抛物线，开口向上或向下取决于的正负.不等式或可以通过求解对应的二次方程找到抛物线与x轴的交点，然后根据抛物线的开口方向确定解集.
指数函数与不等式：指数函数（且）的图象是一条逐渐上升或下降的曲线.不等式或可以通过取对数的方式转化为对数不等式，然后求解.
分段函数与不等式：分段函数是定义在不同区间上具有不同表达式的函数.不等式求解时，需要根据不等式的性质在不同区间上分别求解，然后综合考虑各区间上的解集.
在解决实际问题时，可能需要结合以上不同的方法，以及函数的性质和图象，灵活运用转化技巧来求解不等式.
【举一反三】
（河南省创新发展联盟2024-2025学年高三上学期9月月考）
若，对恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可判断的正负，进而可知和是的两根，且，根据韦达定理列出等式，然后判断大小即可.
【详解】因为，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
因为在上恒成立，
所以和是的两根，且，
则，解得，，
所以，.
故选：B.
已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
B．
D．
【答案】A
【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.
【详解】令，
则，
当时，则，
因为函数在上有三个零点，
所以，
∴，
故选：A.
类型三 方程与不等式的互相转化
【典例1】（湖北省部分学校2025届高三上学期第一次大联考（一模））已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【解题策略】设函数，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性，把方程转化成，再结合三角函数的性质，利用不等式求的取值范围.
【详细解析】
令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.
由，得，即，
从而，即
故选：D
【典例2】已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为＿＿＿.
【解题策略】
根据函数是否有零点，分类讨论，当时，恒成立，根据题意求解即可；当，时，恒成立，不符合题意，当，时，结合二次函数性质讨论得方程没有实数根，最后结合不等式进行计算可得.
【详细解析】
当，即时，
恒成立，
所以，
因为有两个零点，
所以且，解得或（舍），
所以或；
当，即或，
设的两个根为，且，
当时，恒成立，不满足题意，
当，有有两个解，
因为，，所以与在必有一个交点，
当时，与没有交点，
当时，，所以与在必有一个交点
所以要使方程有且只有两个零点，
则无解，
即没有实数根，
即，解得，
因为，所以，
综上实数的取值范围为：.
故答案为：.
【典例3】若关于x的指数函数方程.
有实数解，求实数a的取值范围；
在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.
【解题策略】
方程参变分离后，借助基本不等式计算即可得；
方程参变分离后，借助对勾函数的性质，结合不等式计算即可得.
【详细解析】
由题意可得有解，
由，故，
当且仅当时，等号成立，
即，则，即；
由题意可得在区间上有且只有一个实数解，
由时，则，
由对勾函数性质可得，当，即时，单调递减，
此时，
当，即时，单调递增，
此时，
则有或，
解得或.
【方法归纳】
方程与不等式是高中数学中重要的数学工具，它们之间可以相互转化，以解决不同的数学问题.以下是一些常见的转化方法：
由方程转化为不等式：
当需要求解方程的解集范围时，可以将方程转化为不等式.例如，解不等式组时，可以先求解对应的方程组，然后根据解的情况确定不等式的解集.
由不等式转化为方程：
当需要求解不等式的精确解时，可以将不等式转化为方程.例如，求解某个不等式的解集时，可以先将不等式转化为等式，求出方程的解，再根据不等式的性质确定解的范围.
【举一反三】
（2025届四川南充高三高考适应性考试（一诊））
已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，且，
所以，解得，
所以，
当时，则，
令，解得，且，
令，解得，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，
因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点，
所以，即的取值范围是.
故选：C
（安徽省皖江名校联盟2025届高三上学期第一次联考）
已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A．B．28C．D．14
【答案】A
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出的大致图象，如下

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大的根和最小的根和为.
故选：A
类型四 三者之间的相互转化
【典例1】（江西红色十校2025届高三上学期第一次联考）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【解题策略】函数是，在定义域上有3个零点，构造方程，利用判别式得出，就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质，利用不等式可得其取值范围.
【详细解析】
令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点，
因为，所以，即，
与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；
当时，在上有1个零点，
在上有3个零点，不满足题意；
当时，在上有2个零点，
故在上应有1个零点，
因为，所以该零点与的零点不相同，
所以，即，与联立得，
因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5.
故选：B.
【典例2】已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是＿＿＿.
【解题策略】先利用三角函数恒等变换公式，把函数化成，可求出方程的系列正根，根据函数在上根的个数，利用不等式可确定的取值范围.
【详细解析】
因为，
由（）.
令可得.
因为在上有且仅有3个零点，所以，
故的取值范围是：.
故答案为：
【典例3】（湖南省部分学校A佳联考2023-2024学年高三5月模拟）已知函数.
讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围.
【解题策略】
对函数求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性.
分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，建立方程，结合不等式即可求得a的取值范围.
【详细解析】
函数的定义域为R，
求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
，即，
当时，，恒成立，在R上单调递减；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件，
当时，，令，
则，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
于是，函数在R上单调递增，而，
则当时，，当时，，当时，，
若，则，故恒成立，无零点；
若，则，仅有一个实根，不满足条件；
若，则，
注意到，，
于是在上有一个实根，又，
且
，
令，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
则，又，即，则有，
即，于是在上有一个实根，
又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根，
又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根，
所以时，在R上恰有两个实根.
【方法归纳】
函数与方程、不等式之间的转化是高中数学中常见的问题解决方法.以下是一些基本的转化方法：
方程转化为函数：将方程中的未知数视为变量，将方程转化为函数表达式.
函数转化为方程：将函数中的变量等于某个值时，转化为方程.
不等式转化为函数：将不等式中的条件转化为函数的定义域或值域限制.
函数转化为不等式：将函数的值域或特定值与某个数值比较，转化为不等式.
方程与不等式的相互转化：将方程的解转化为不等式的解集，或反之.
在解决具体问题时，根据题目要求灵活运用这些转化方法，可以帮助简化问题，找到解题的途径.
【举一反三】
（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试）
若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
B．
D．
【答案】D
【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与的图象有4个交点，数形结合即可求解.
【详解】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象：

因为函数仅有4个零点，所以函数与的图象有4个交点，
根据图象可知：，即实数的取值范围是.
故选：A.
（浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试）
嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）
为奇函数B．的最大值是
在上单调递增D．方程有2个实数解
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出，再结合指数函数性质即可判断.
【详解】对A，∵，则为偶函数，A错误；
对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，
则当时，则，当时，则，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，法一：因为为偶函数，且最小值为，，
并且根据C中的单调递减区间为，单调递增区间为，且时，，
所以有2个实数解，故D正确.
法二：令,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.,
故选：D
（2024-2025广东惠州一中、深圳实验学校、东莞中学三校高三上期9月联考）
已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，由已知结合二次函数零点分布求出的范围，计算并构造函数，再利用导数求出范围即可.
【详解】由（），求导得，
由函数有两个不同的极值点，得方程有两个不相等的正实根，
则，解得，
于是
，
令（），求导得，
函数在上单调递增，则，
所以的取值范围为.
故选：C
已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由在有且仅有2个极值点，可得，解得，又在上单调递增，可得，解得，则可得的取值范围.
【详解】因为在有且仅有2个极值点，
所以，解得，
因为在上单调递增，
又，所以，
解得，所以．
故选：A．
（辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期10月月考（二模））
已知函数，则不等式的解集为（ ）
B．
D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式.
【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处，
所以函数在定义域上单调递增，
所以，得，
所以不等式的解集为.
故选：B
（四川省南充市2025届高三高考适应性考试（一诊））
定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以，令，则，又，所以，
由，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
同理，令，由，则，即，
由，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
因为当时，都有，
而，
则，，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果.
（江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考（一））
方程的根的个数是 .
【答案】6
【分析】方程的根的个数即函数和图象交点的个数，分别在同一直角坐标系下作出两个函数的图象即可求解.
【详解】设函数和，
由为偶函数，周期，
，，，，，
，，，
可作出函数和的大致图象，如图，

由图可得，两个函数的图象共有6个交点，即方程的根有6个，
故答案为：6.
如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解.
【详解】当时，过原点作的切线，
设切点，，，
则切线方程为，
又切线过点，所以，所以.
设，则，故为增函数，且，
所以，
当时，过原点作的切线，
设切点B，，
则切线为，又切线过点
所以，又，，
因为，所以两切线垂直，所以.
故答案为：
（山西省晋中市部分校2024-2025学年高三上学期9月质量检测）
已知函数.
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得、，结合两角和的余弦公式即可求解；
（2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得的表达式，根据题意列出不等式组即可求解.
【详解】（1）由题意知，
因为，
所以，令，则，，
因为，所以，
由，得，所以，
所以
.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
令，得，解得，
又在区间上没有零点，所以，
解得，，又，
所以当时，；当时，，
即的取值范围是.
（黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三10月份考试）
已知函数．
若在上为增函数，求的值范围；
已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值；
已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；
；
.
【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的值范围.
由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可；
原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可.
【详解】（1）因在区间上单调递增，
故，在区间上单调递增，
故由题意知，则，
于是，解得，故的值范围为.
由题意知，
因为是的一个零点，所以，
即，解得或，
解得，或，，
又，所以，
所以，
若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点，
令，由，则，
即，与恰好有6个交点，
所以，故n的最大值为.
由（2）知，
若对任意，存在，使得成立，
则的值域是值域的子集，
当时，，所以，
即，
当时，，所以，
即，
因为的值域是值域的子集，所以
所以实数a的取值范围为.