2025届高考数学思想方法大合集-函数与方程思想中的三大法宝讲义

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待定系数法是一种在数学中解决代数问题的技巧，尤其在因式分解、解方程和求解函数表达式中非常有用.使用待定系数法时，我们首先假设一个未知数或多项式的特定形式，然后通过代入已知条件来确定这些未知系数.在解方程时，如果方程形式复杂，也可以假设一个解的形式，然后通过代入方程来确定未知系数.待定系数法的关键在于合理假设未知数或多项式的结构，然后通过代入已知条件来求解这些未知系数.这种方法在高中数学中非常常见，是解决各种代数问题的有效工具.
换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，使得问题变得更加易于处理.在高中数学中，换元法主要应用于解决积分、解方程、证明不等式等场合.在解方程时，换元法可以帮助我们简化方程的形式，特别是对于那些含有多个变量的方程组.通过引入新的变量来代替原方程中的某些表达式，可以将复杂的方程组转化为更简单的形式，从而便于求解.在证明不等式时，换元法同样非常有用.通过适当的变量替换，可以将原不等式转化为更易于证明的形式，或者将不等式转化为等式，从而利用等式的性质来证明原不等式.
转换法通常指的是将复杂问题通过数学变换转化为更易解决的问题.常见的转换方法包括代数转换函数转换：例如，利用函数的平移、伸缩、反射等性质，将一个函数转化为另一个函数.掌握这些转换方法，可以帮助学生在解决高中数学问题时更加灵活和高效.
类型一 待定系数法
【典例1】（2024-2025江西多校高三上期10月联考）已知函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题策略】
结合题意，用待定系数法，令，可得，进而利用累加法及等比数列的前和公式求解即可.
【详细解析】
由，，
令，得，
则，
则，
将以上各式相加得
，
所以.
故选：D.
【典例2】设函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ．
【解题策略】利用换元法可得，即可求导，利用待定系数法，将点代入即可求解.
【详细解析】
令，则，则，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为．
故答案为：
【典例3】已知数列中，且，求这个数列的通项公式．
【解题策略】本题所给的递推式关系不明朗，应先进行变形，再运用待定系数法构造新的特殊数列，从而使问题获解．
【详细解析】
先对递推式进行变形．，即．
设，则．①
引入待定系数、，使、满足，展开得．②
对照①式和②式，可得方程组解得
即数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以．
于是，．
【方法归纳】
待定系数法是一种在已知函数或数列的某些性质时，通过设定未知系数，利用这些性质来确定这些系数的方法.在高中数学中，待定系数法常用于求解函数的解析式或数列的通项公式.
函数解析式的求法：根据函数的类型和已知条件，假设函数的解析式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或解方程或方程组，求出待定系数的值；或将求得的系数代入假设的函数形式中，得到函数的解析式.
数列通项的求法：根据数列的性质和已知条件，假设数列的通项公式具有一定的形式，其中包含待定的系数；或利用已知条件，如数列的递推关系、特定项的值等，列出方程或方程组，解方程或方程组，求出待定系数的值.将求得的系数代入假设的通项公式中，得到数列的通项公式.
【举一反三】
已知数若且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
设数列的前项积为，满足，则（ ）
A．175B．185C．D．
类型二 换元法
【典例1】已知，则函数的解析式为（ ）
B．
D．
【解题策略】根据换元法，设，得，代入即可求解．
【详细解析】
设，则，
所以，
所以，
故选：D．
【典例2】函数的最小值为 ．
【解题策略】利用换元法，令，结合对勾函数单调性求最值.
【详细解析】
令，则，
可得，
由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减，
则，
所以函数的最小值为5.
故答案为：5.
【典例3】为何值时，不等式对任意实数都成立．
【解题策略】
所给不等式除、之外还有参数，若直接分离出参数再求的取值范围是有困难的．主要思维障碍是、及（且有项）的不和谐性，所以可利用整体思想进行换元．先将原不等式转化为关于的二次不等式，再利用新构造的函数关系求解．还应当指出的是：不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题，利用函数的性质求解，又对含参数的二次函数的最值按对称轴的位置分类讨论，并利用函数的如下性质：在上恒成立，使问题解决．本例是一道常规题，难度并不高，然而涉及的数学思想却非常广泛，如函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想以及换元法，反映出思想的广度和深度，值得细细品味．
【详细解析】
令，则，
原不等式可化为，在上恒成立．
设．
当时，．
当时，．
当时，．
故所求的取值范围为下列不等式组的解集．
或或
解得的取值范围是或．
【方法归纳】换元法是解决高中数学问题的一种常用技巧，它通过引入新的变量来简化原问题，从而达到求解的目的.以下是换元法的一些常见方法归纳：
三角换元法：当遇到含有根号的代数式时，可以考虑使用三角函数关系式进行换元.可以分别引入三角函数的正、余弦进行换元.
代数换元法：当方程形式复杂时，可以尝试通过代数变换引入新变量，简化方程.
在使用换元法时，需要注意新变量与原变量之间的关系，以及换元后方程的解与原方程解之间的对应关系.正确选择换元方法，可以有效简化问题，提高解题效率.
【举一反三】
（2024-2025江苏苏大附中高三上期10月月考）
若函数是奇函数，则不等式的解集为（ ）
B．
D．
（2024-2025河南部分名校高三上期阶段性测试（二））
若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
B．
D．
类型三 转换法
【典例1】已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【解题策略】
本题可构造两个函数，通过两个函数的图像交点的个数为5来探求的取值范围．然而以形助数往往是粗略的，临界状态不一定很明了，还应结合代数运算，即通过解方程组、运用方程理论作进一步探索，我们讲数形结合关键在结合，不但要以形助数，还要以数辅形，这样解才是完整的．
【详细解析】
对于方程可化为，构造函数和，它们恰有5个交点．
当时，为的上半部分；当时，为；当时，为．
如图1-14所示，为一条过原点的直线，要使它们适合题意，需要与曲线有两个交点，与没有交点．
由题意知得，
，得，
由得，
，得．
故，
故选B．
【典例2】（2024届北京西城高三高考模拟试题（一））若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ．
【解题策略】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围.
【详细解析】
问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，
的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
【典例3】（2025届九师联盟高三上期10月联考）已知函数．
求函数的值域；
若不等式在上恒成立，求的取值范围；
当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
【解题策略】
求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.
变形给定不等式，按分段讨论求出的范围.
利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.
【详细解析】
依题意，，
由，得，则，
当，即时，；当，即时，，
所以函数在时的值域为.
不等式，
当时，；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此，
所以实数的取值范围为.
当时，在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，即的两个不相等的正根，
则，解得，
所以正数的取值范围为.
【方法归纳】
高中数学中，转换法是一种常用的解题技巧，它通过等价变换将复杂问题转化为简单问题，从而便于求解.以下是一些常见的转换法方法归纳：
函数转换：将复杂的函数表达式通过代数变换转化为更简单的形式.
方程转换：通过等价变换将高次方程转化为低次方程，或者将非线性方程转化为线性方程，便于求解.
以上两种方法是高中数学常用的转换法，掌握这些转换法方法，有助于求解函数与方程问题，零点问题，导数相关问题，对于提高解题效率和准确性具有重要意义.
【举一反三】
（2024-2025山西晋中部分校高三上期9月质量检测）
已知函数.
若，，求的值；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上没有零点，求的取值范围.
（2025届河南部分重点高中高三九师联盟模拟预测）
设且，函数.
当时，求不等式的解集；
若函数在区间上有零点，求的取值范围.
（2024届四川百师联盟高三冲刺卷（三））
已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
B．
D．
（2024届江西新余四中高三下期5月高考全真模拟（三））
已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024届湖南邵阳部分学校高三下期三模）
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2024届内蒙古赤峰高三下期4.20模拟考试）
设函数 的零点分别为a,b,c, 则（ ）
A．B．C．D．
（2024-2025河南焦作高三上期开学考试）
已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2024届天津北辰朱唐庄中学高三模拟预测）
设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．B．C．D．
（2024届河北唐县一中高三下期二模）
已知椭圆的左､右焦点分别为在椭圆上，且，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．或D．或
（2024届四川绵阳南山中学高三下期高考仿真演练（一））
已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．B．8C．或8D．4