2025年中考数学专项复习第05讲 一次方程(组)及其应用 (思维导图+5考点+3命题点15种题型(含5种解题技巧))(讲义)(解析版)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184197111" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc184197112" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc184197113" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc184197114" 考点一 一元一次方程基础
\l "_Tc184197115" 考点二 解一元一次方程
\l "_Tc184197116" 考点三 二元一次方程（组）基础
\l "_Tc184197117" 考点四 解二元一次方程（组）
\l "_Tc184197118" 考点五 一次方程（组）及其应用
\l "_Tc184197119" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc184197120" 命题点一 一元一次方程（组）的相关概念
\l "_Tc184197121" ►题型01 等式的性质
\l "_Tc184197122" ►题型02 一元一次方程的相关概念
\l "_Tc184197123" ►题型03 二元一次方程的相关概念
\l "_Tc184197124" 命题点二 解一元一次方程（组）
\l "_Tc184197125" ►题型01 一元一次方程的解法
\l "_Tc184197126" ►题型02 代入法解二元一次方程组
\l "_Tc184197127" ►题型03 加减法解二元一次方程组
\l "_Tc184197128" ►题型04 整体法解二元一次方程组
\l "_Tc184197129" ►题型05解二元一次方程组--同解方程组
\l "_Tc184197130" ►题型06解二元一次方程组—已知二元一次方程组的解的情况求参数
\l "_Tc184197131" ►题型07中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程(组)
\l "_Tc184197132" 命题点三 一元一次方程（组）的应用
\l "_Tc184197133" ►题型01 列一元一次方程组
\l "_Tc184197134" ►题型02 一元一次方程的应用
\l "_Tc184197135" ►题型03 二元一次方程组的应用
\l "_Tc184197136" ►题型04 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
\l "_Tc184197137" ►题型05中考最热考法之以真实问题情境为背景考查二元一次方程组的实际应用
01考情透视·目标
02知识导图·思
03考点突破·考法探究·
考点一 一元一次方程基础
一、一元一次方程的相关概念
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.
方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
【易错易混】
1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；
2）方程的解是通过解方程求得的.
3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能无解（如x2=-4无解）.
二、等式的性质
等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：
如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性）
等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性）
【易错易混】
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
1．（2023·湖南永州·中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．7D．-7
【答案】A
【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．
【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，
解得：m=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
2．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的方程m-1x2+2x-1=0有根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≥0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ>0，即可求出m的取值范围，要注意，m-1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】解：当方程m-1x2+2x-1=0为一元二次方程时，方程有解，
则m-1≠0且Δ=22-4×m-1×-1≥0，
解得：m≥0且m≠1，
当方程m-1x2+2x-1=0为一元一次方程时，
方程有解，则只需m-1=0，即m=1，
综上：当m≥0时，方程有实数根．
故答案为：m≥0．
3．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A．x=yB．x=2yC．x=4yD．x=5y
【答案】C
【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式x+y=y+2a，x+a=x+2y，然后化简代入即可解题．
【详解】解：设“▲”的质量为a，
由甲图可得x+y=y+2a，即x=2a，
由乙图可得x+a=x+2y，即a=2y，
∴x=4y，
故选C．
4．（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=bB．若a2=b2，则a=b
C．若ac=bc，则a=bD．若-13x=6，则x=2
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若a2=b2，则a=±b，故此选项错误；
C、若ac=bc，则a=b，故此选项正确；
D、若-13x=6，则x=-18，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
5．（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：I=UR去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2，
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
考点二 解一元一次方程
基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba.
【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.
1．（2024·海南·中考真题）若代数式x-3的值为5，则x等于（ ）
A．8B．-8C．2D．-2
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知x-3=5，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式x-3的值为5，
∴x-3=5，
解得x=8，
故选：A．
2．（2024·河北·模拟预测）下面是嘉淇同学解一元一次方程5x6-1=3x-23的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【详解】去分母，得5x-6=23x-2，……第一步
去括号，得5x-6=6x-4，……第二步
∴第二步开始出错，
故选：B．
3．（2024·贵州贵阳·二模）已知关于x的方程2x-m=0的解是x=-3，则m的值为 ．
【答案】-6
【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于m的方程，解方程即可．本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【详解】解：把x=-3代入方程中得：
2×(-3)-m=0，
m=-6，
故答案为：-6．
4．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知y=1是方程py-1=-3-p的解，则代数式p3-p-1p的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，由方程的解求出p的值是解答本题的关键．把y=1代入方程即可得到一个关于p的方程，解方程求得p的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】解：把y=1代入方程py-1=-3-p中，得p=-3-p+1，
解得：p=-1，
把p=-1代入p3-p-1p中，
则原式=-13--1-1-1
=-1+1+1
=1．
故答案为：1．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：3x-1=2-2x
【答案】x=1
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：3x-1=2-2x
去括号得：3x-3=2-2x，
移项得：3x+2x=2+3，
合并同类项得：5x=5，
系数化为1得：x=1．
QUOTE QUOTE 考点三 二元一次方程（组）基础
1.二元一次方程
二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式.
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
2.二元一次方程组
二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组.
一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）.
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【易错易混】
1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.
2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.
3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.
4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=1C．x=-1y=2D．x=2y=4
【答案】A
【分析】代入x,y的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当x=1y=2时，方程左边=2×1+3×2=8，方程左边=方程右边，故A符合题意；
当x=2y=1时，方程左边=2×2+3×1=7，方程左边≠方程右边，故B不符合题意；
当x=-1y=2时，方程左边=2×-1+3×2=4，方程左边≠方程右边，故C不符合题意；
当x=2y=4时，方程左边=2×2+3×4=16，方程左边≠方程右边，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
2．（2020·湖南益阳·中考真题）同时满足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x，y的值为（ ）
A．x=4y=-5B．x=-4y=5C．x=-2y=3D．x=3y=-6
【答案】A
【分析】联立x-y=9和4x+3y=1解二元一次方程组即可．
【详解】解：有题意得：x-y=9①4x+3y=1②
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=0C．x=0.5y=3D．x=-2y=4
【答案】D
【分析】将选项中的x,y的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当x=1y=2时，2x+y=4，则x=1y=2是二元一次方程2x+y=4的解，不合题意；
B、当x=2y=0时，2x+y=4，则x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解 ，不合题意；
C、 当x=0.5y=3时，2x+y=4，则x=0.5y=3是二元一次方程2x+y=4的解，不合题意；
D、当x=-2y=4时，2x+y=0，则x=-2y=4不是二元一次方程2x+y=4的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
4．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组x+y=2A=0的解为x=1y=1，则多项式A可以是 （写出一个即可）．
【答案】x﹣y（答案不唯一）
【分析】根据方程组的解的定义，x=1y=1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕x=1y=1列一组算式，然后用x，y代换即可.
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组x+y=2A=0的解为x=1y=1，
而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．
故答案为：x﹣y（答案不唯一）.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
15．（2022·四川雅安·中考真题）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 ．
【答案】1
【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5=2(a+2b)-5，再整体代入求值即可．
【详解】解：把{x=1y=2代入ax+by＝3可得：
a+2b=3，
∴ 2a+4b﹣5
=2(a+2b)-5
=2×3-5=1．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
5．（2021·四川广安·中考真题）若x、y满足x-2y=-2x+2y=3，则代数式x2-4y2的值为 ．
【答案】-6
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
考点四 解二元一次方程（组）
1.代入消元法
定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
【易错易混】
1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数.
2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单
2.加减消元法
定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数；
2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点Px,y在直线y=-34x+4上，坐标x,y是二元一次方程5x-6y=33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 y=-34x+45x-6y=33，求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组y=-34x+45x-6y=33，
解得x=6y=-12，
∴P的坐标为6,-12，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
2．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x-y=4m+1x+y=2m-5的解满足x-y=4，则m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x-y=m+3，代入x-y=4，即可解答．
【详解】解：3x-y=4m+1①x+y=2m-5②，
①-②得2x-2y=2m+6，
∴x-y=m+3，
代入x-y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）

A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论．
【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知：
2x=y+zz=x+y，
解得：x=2yz=3y，
∴x+z=2y+3y=5y，
即■的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键．
4．（2023·四川泸州·中考真题）关于x，y的二元一次方程组2x+3y=3+ax+2y=6的解满足x+y>22，写出a的一个整数值 ．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+y>22代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+y=a-3，
∵x+y>22，
∴a-3>22，
∴a>3+22，
∵48C．k≤8D．k