贵州省黔南州2025届高三第四次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份贵州省黔南州2025届高三第四次模拟考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．若为一组从小到大排列的数的第百分位数，在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
5．贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化、山地文化、民族文化、红色文化和饮食文化五种特色文化.规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后.则展板的不同排列方式有（ ）
A．12种B．14种C．16种D．18种
6．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ）
A．设为随机变量，为常数，则，
B．若，则与试验次数无关
C．若中，则，
D．两点分布中，时，方差最大
10．已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为.则下列结论正确的是（ ）
A．时，使得要6步雹程
B．时，
C．时，
D．使得的的值有6个
三、填空题
12．已知抛物线的顶点和焦点分别为，则以线段为直径的圆的方程是 .
13．设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ．
14．已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为 ．
四、解答题
15．已知数列为等差数列，为等比数列，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，证明：．
16．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附:，其中.
17．如图，在平行六面体中，点在底面的射影为点，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点），且平面与平面的夹角为，求与平面所成角的正弦值.
18．如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
19．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）若且，有恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，
所以，
故选C
2．【答案】A
【详解】因为是纯虚数，
所以，则，所以.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为角的终边经过点，则，
所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】因为，所以数的第百分位数为，则，
又的展开式的通项公式为，
令，得，所以的系数为，
故选B.
5．【答案】A
【详解】先将饮食文化展板放最后一个位置，然后在前4个位置安排阳明文化、山地文化、民族文化、红色文化展板，
首先对山地文化和民族文化展板排列，有种排法，
排列后产生3个间隔，从3个间隔中选2个，将阳明文化与红色文化展板排入，则有种排法，
由分步乘法原理可知共有种不同排列方式.
故选A
6．【答案】C
【详解】由题易知，又，又，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
故选C.
7．【答案】B
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，
因为，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确；A错误，
对于选项C：例如,则，
可得，即，故C错误；
对于D,取，则，
可得，即，D错误.
故选B
8．【答案】D
【详解】令，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
由，知，所以，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在当上单调递增，
所以，故的最小值为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由均值与方差的性质可知：，，A正确；
对于B，，，，
，与无关，B正确；
对于C，，，，C错误；
对于D，若服从于两点分布，则方差，
当时，取得最大值，D正确.
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】对于A，时，，故，故A错误，
对于B,由可得，所以，故，解得，故B正确，
对于C,由题意可得，当，则，解得，故C错误，
对于D,若可得，故，所以，故D正确，
故选BD
11．【答案】ACD
【详解】对于A, 时，，故使得要6步雹程,A正确，
对于B，时，，故，故B错误，
对于C, 时，，故，C正确，
对于D,，故的所有可能取值有128,,21,20,3,16,2,共有6个，故D正确，
故选ACD
12．【答案】
【详解】由题易知，其中点为，又，
所以以线段为直径的圆的方程是.
13．【答案】
【详解】因为在区间上具有单调性，且，
所以有对称中心，
由得有对称轴，
设为的最小正周期，则，
所以，从而，
解得.
14．【答案】
【详解】正方体的体对角线长为，面对角线长为，
因为，
以为球心的球与面ABCD，面，面都没有交点，
记球面与上底面交于M，N两点，则，
因为为锐角，
所以，同理，所以
所以，同理在面和面内轨迹长都是，
所以，球面与正方体表面交线的长度之和为．
15．【答案】（1），.
（2）证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题设有，因，故解得，
故，.
（2）,
故
.
16．【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，
按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.
随机变量的取值为:.
,
,
随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表重的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.
17．【答案】（1）证明见详解；
（2）.
【详解】（1）因为点在底面的射影为点，所以平面，
又因为平面，所以；
在中，，，
由余弦定理知，，即，
所以，即；
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
故平面平面
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，
又，，在中，由勾股定理知，故，
由知，
由知，
设，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
在平行六面体中，平面平面，由（1）知，平面，
故平面的一个法向量为，
又平面与平面的夹角为，所以，解得，
故，
记与平面所成角为，则
，
故与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）
（2）；
【详解】（1）由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为.
（2）（ⅰ）设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，知，
由，得，
，得
所以
由（i）可知，，
即，
将代入化简得，化简得解得舍或，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为的定义域为，且，
则，即切点坐标为，斜率，
所以所求切线方程为.
（2）由（1）可得：，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当x趋近于0时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，
可得的图象如图所示：
令，则
令，可得，
原题意等价于：与有2个交点，
结合函数图象可得，所以实数的取值范围为.
（3）因为，令，则，即，
由可得，
可知在内单调递增，
则，可得在内恒成立，
构建，则，
构建，则，
且，可知在内单调递增，
构建，可知在内单调递增，
且，
则在内存在唯一零点，
当时，，，可得，即；
当时，，，可得，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
且，则，，
可得，即，
可得，所以实数的取值范围为.
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828