广东省阳江市阳西县2025届高三模拟预测 数学试题（含解析）

这是一份广东省阳江市阳西县2025届高三模拟预测 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A．1B．2C．D．4
3．在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（ ）．
A．B．
C．D．
4．小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（ ）
A．31B．63C．127D．128
5．已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）

A．5B．10C．D．
7．投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.24B．0.48C．0.84D．0.94
8．已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ）
A．B．1C．或1D．或2
二、多选题
9．已知函数（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则.
10．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．角B的范围是
C．若的平分线交BC于D，，，则
D．的取值范围是
11．已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为
B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2
C．的最小值为
D．的最大值为
三、填空题
12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为 .
13．不等式的解集为 ．
14．已知全集，实数满足，集合，，则 .
四、解答题
15．在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且
(1)求
(2)若为边的中点，且，，求的面积.
16．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值；
(3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值．
17．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.
18．小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第个月月底的投资总资金为．
(1)求数列的通项公式；
(2)如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？
19．已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和.
参考答案
1．【答案】D
【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解
【详解】由得，则，解得，
所以，则，
所以.
故选：D
2．【答案】C
【详解】因为，所以，解得.
故选C.
3．【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解．
【详解】由题意，画出图象如下：
可得．
故选：D．
4．【答案】B
【分析】先找出时的情况，再推导时的递推公式，最后根据递推公式求出.
【详解】当时，即只有个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动次，所以.
当时，要把个圆环从木桩移动到木桩，我们可以先把上面个圆环从木桩借助木桩移动到木桩，这需要次；
然后把最大的第个圆环从木桩移动到木桩，这需要次；
最后再把木桩上的个圆环借助木桩移动到木桩，这又需要次.所以可得递推公式.
由，变形可得.那么数列是以为首项，为公比的等比数列.
根据等比数列通项公式可得，所以.
当时，将其代入，可得.
故选：B.
5．【答案】C
【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由，可得，即，
所以，
则
，
当且仅当时，即，即时，
也就是时，等号成立.
故选：C
6．【答案】B
【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解.
【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，

原图形为，其中，且，
则的面积为．
法二：直观图面积为，
原图形的面积等于直观图面积的倍，
所以原图形的面积为．
故选：B
7．【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为，
所以该同学通过测试的概率为.
故选：C
8．【答案】A
【详解】求导得，则，
解得：或，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极小值，
当时，，
由于，，，，
所以函数在时有极大值，故舍去，
故选A.
9．【答案】AD
【分析】对于选项A，由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项B：因为由在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项C，当时，得出，根据在区间上不单调，列出关于的不等式组
，求出实数的范围；对于选项D，由的单调递减区间为，可知是的一个根，即可求出.
【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数.
对于选项A：因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离出参数，可得在上恒成立.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项A正确.
对于选项B：因为在上存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
分离出参数，可得在上有解.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项B错误.
对于选项C：当时，.
令，解得.
因为在区间上不单调，
所以导数在区间上有极值点，
则，解得：，故选项C错误.
对于选项D：因为的单调递减区间为，
所以是的一个根，即，
解得：，故选项D正确.
故选：AD.
10．【答案】ACD
【详解】由正弦边角关系有，
所以，又且，
所以，A对；
由上，可得，B错；
对于C，如下图示，设，则，，
由，则，且，则，
所以，
而，且，则，所以，C对；
由，
而，且在上单调递增，则值域为，D对.
故选ACD
11．【答案】ACD
【分析】A取线段的中点，在中利用余弦定理求即可；B先利用体积得出三棱锥的高，再证明平面，再结合点到平面的距离均为，即可找出点P轨迹；C利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再求的最小值即可；D利用数量积的定义即可.
【详解】取线段的中点，连接，
因为线段中点，结合正方体的性质可知，，且，
则四边形为平行四边形，则，
则直线与所成角的为或其补角，
容易得，
则在中利用余弦定理可得，，
则直线与所成角的余弦值为，故A正确；
连接，设点到平面的距离为，
容易得的面积为，
由题意可得，得，
由正方体的性质可知，平面，
又平面，则，
又，，平面，则平面，
因，则点到平面的距离均为，
因，平面，平面，则平面，
同理可得平面，
因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，
故B错误；
依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，
则的最小值为，故C正确；
因
，
则当时，取最大值，最大值为，故D正确.
故选：ACD
12．【答案】/
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得，
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，因为，所以，
又，所以，
如图，由题意可得，，
因为，，三点共线，
故可设，，
又因，，三点共线，故，即，
所以，
因为，
所以，
于是，即
两边平方得：，
当且仅当时等号成立，
故，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
13．【答案】，或
【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可.
【详解】由得，，通分得，
此不等式等价于，解得或，
故不等式的解集为，或
故答案为：，或
14．【答案】
【分析】先求出或，由a＞b＞0，，再根据交集定义即可求出结果．
【详解】因为，则或，
又a＞b＞0，，,
所以，
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，将边转换成正弦，再利用倍角公式和辅助角公式，求出，的关系.
（2）把余弦定理方程和中线的向量性质得到的方程，联立，求出，再利用面积公式即可求出面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
则，
所以，则
所以，，或，，则，或，
又因为，所以，所以，故.
（2）在中由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合离心率相等列关于的关系式，即可求得；
（2）设点坐标，表示结合椭圆方程即可求得；
（3）设，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果.
【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为， ，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）设，由于，所以，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点坐标，根据和垂直以及在上，即可得到点坐标，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根据平方关系求得结果.
【详解】（1）由题知，，
因为平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
又是中点，
所以，又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
过作，因为，
所以，
则，设，
则，即，
又，即，
所以，
所以，即，
则，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，可得，
取，可得，
又，可得，
取，可得，
令平面与平面的夹角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为.
18．【答案】(1)
(2)不够.
【分析】（1）根据题意求得，变形后可得数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，从而可求出数列的通项公式；
（2）求出与41388比较大小即可
【详解】（1）依题意，第1个月底的投资总金额为
，可化为
可化为
又，
所以数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，
可得
故数列的通项公式为
（2）由（1）知
有
所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够的．
19．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列与的公差分别为、，根据所给条件得到、的方程组，解得即可求出，求出，，即可求出的通项公式，从而求出的通项；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）设等差数列与的公差分别为、，
由，可得，解得，
所以，
由，，即，
所以，则，又，
所以，则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.