广东省阳江市第三中学2024-−2025学年高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省阳江市第三中学2024-−2025学年高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．1C．D．
3．已知向量，若，则的值为（ ）
A．4B．5C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为 （ ）
A．B．C．D．
6．若函数为偶函数，则实数（ ）
A．1B．C．－1D．
7．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．0D．12
8．过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线l过点B．直线l与直线垂直
C．直线l的一个方向向量为D．原点到直线的距离为1
10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是钝角三角形
11．若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数据的标准差为3
C．数据的分位数为10
D．记，随机变量，，则
三、填空题
12．若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
13．已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则 ．
14．德阳市去年完工的华强沟水库是坝斜面与水平面所成的二面角为，堤坝斜面上有一条直道与堤脚的水平线的夹角为，小李同学沿这条直道从处向上行走到10米时，小李升高了 米.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求；
（2）若，，求.
16．如图，已知四棱锥的底面为菱形，.
（1）求证：平面BDS；
（2）若，求四棱锥的体积.
17．已知函数．
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）若在定义域内恒成立，求的取值范围．
18．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围.
19．已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.
（1）已知，，判断数列，是否具有性质；
（2）若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
（3）若，求具有性质的数列的个数.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e．
故.
故选A
2．【答案】A
【详解】因为，所以.
故选A
3．【答案】B
【详解】由，且，则，解得，
即，可得，所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】由与联立，结合可解得：
，，，
再由二倍角公式可得，
故选B.
5．【答案】C
【详解】检验4次的方法总数为，
因为恰好检验4次就停止，
所以前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，共种方法，
或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，共种方法，
所以满足题意的概率为．
故选C．
6．【答案】D
【详解】由函数为偶函数，可得，即，
解之得，则，
，
故为偶函数，符合题意.
故选D.
7．【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，
因为，故两式作差可得：，即，；
又，故.
故选B.
8．【答案】D
【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
由，则，
不妨设在双曲线的右支上，设，，又，
由双曲线的定义可得，
在中由余弦定理可得，，
即，解得，
所以.
故选D
9．【答案】AB
【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确；
对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确；
对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误；
对于D，由原点到直线的距离为，故D错误.
故选AB.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，在中，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误；
对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于选项A：令，则，故A正确，
对于选项BC：因为的展开式的通项为，即，
可得，
数据为，
则平均数为，
方差为，
所以标准差为3，故B正确；
将数据按升序排列为，且，
故分位数为第3个数5，故C错误，
对于选项D：因为，
故，故D正确，
故选ABD.
12．【答案】
【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得，
所以实数a的取值范围为.
13．【答案】2
【详解】由抛物线的定义，等于点到抛物线的准线的距离，
因，代入，解得，
故.
14．【答案】
【详解】取上一点，设米，过点作直线所在的水平面的垂线，垂足为，则线段的长就是所求的高度，
在河堤斜面内，作，垂足为，连接，由三垂线定理的逆定理有，
所以就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角，即，
所以.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），由正弦定理得，
得，所以，
由，得.
（2）如图，因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即；
在中，由余弦定理得，
即，①
所以，得，
由解得，代入①得，由解得.
在中，由余弦定理得.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）1
【详解】（1）设AC与BD相交于点，
因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点.
又因为，所以平面BDS，
所以平面BDS.
（2）因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则.
在中，，满足，
根据勾股定理逆定理可知，即.
由（1）知平面BDS，所以，
.
则.
17．【答案】（1）
（2）增区间为，减区间为
（3）
【详解】（1）因为，则，
由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为，
故，解得.
（2）因为，所以函数的定义域为，
由可得，由可得，
故函数的增区间为，减区间为.
（3）由（2）可得，解得，
又因为，故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，得，
又离心率为，解得，，
故椭圆的方程为.
（2）
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得，
则，
因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角，
因不共线，所以，
故，即，
因
所以
解得，
因为，则得，
解得或，
故实数的取值范围为.
19．【答案】（1）数列具有性质；数列不具有性质
（2）证明见详解
（3）
【详解】（1），，即，所以数列具有性质.
，令，则，不符合，则不具有性质.
（2）设数列的公差为，因为数列具有性质，所以存在，
同理存在，两式相减得，
即，因为，所以.所以的各项均为整数.
（3）由（2）可知，数列的各项均为整数，所以为整数.
假设为负整数，则为单调递减数列，所以中各项最大值为，
由题意，中存在某项，且，所以，
而数列中存在，则，与题意相矛盾，所以不是负整数，为正整数.
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数.
由为正整数，所以为的正约数，
，所以的正约数共有个，则，具有性质的数列的个数为.