2024-2025学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二下学期5月期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二下学期5月期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a5+a6+a7=15，则S11为( )
A. 25B. 30C. 35D. 55
2.已知an是等比数列，若a3a8=2a5,a9=16，则an的公比q=( )
A. 4B. 2C. 12D. 14
3.曲线y=ex+1x+2在x=0处的切线方程为( )
A. y=e4xB. y=3e4xC. y=e4x+e2D. y=3e4x+e2
4.自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有( )个．
A. 120B. 240C. 180D. 60
5.已知(x+y)2m,(x+y)2m+1的二项式系数的最大值分别为a,b，9a=5b，则正整数m=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A=“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件B=“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)=( )
A. 67B. 811C. 911D. 1011
7.若函数f(x)=lnx+ax2−2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A. −18,+∞B. −18,+∞C. [−2,+∞)D. (−2,+∞)
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p(p>1)满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列an，记数列an的前n项和为Sn，则2Sn+an+23n的最小值为( )
A. 26B. 36C. 38D. 46
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若二项式(a+b)n的展开式中，第4项的二项式系数最大，则n=5
B. 若(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a1+a2+⋯+a8=0
C. 5555被8除的余数为1
D. C90(1+x)9+C91(1+x)8+C92(1+x)7+⋯+C98(1+x)+C99(1+x)0的展开式中含x3项的数为5376
10.已知函数f(x)=x2+x−1ex，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)与x轴有三个不同的交点
B. 函数f(x)存在最小值但没有最大值
C. 若当x∈[t,+∞)时，f(x)min=−e，则t的最大值为−1
D. 若方程f(x)=k有1个实根，则k∈5e2,+∞
11.数列的各项均为正数，a1=1,a2=3，函数y=13x3在点an,13an3处的切线过点an+2−2an+1,73an3，则下列正确的是( )
A. a3+a4=18B. 数列an+an +1是等比数列
C. 数列an +1−3an是等比数列D. an=3n−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种 ．
13.同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为2:3:5，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率 ．
14.已知函数f(x)=xex−a(x+lnx+1)，若f(x)≥0恒成立，则正数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)已知bn=an2+lg2an，求数列bn的前n项和为Tn．
16.(本小题15分)
已知数列{an}为等差数列，a2=3，a14=3a5，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3bn−1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=an+1⋅bn，数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn−n⋅3nTn−n⋅3n=12−3n2对n∈N∗恒成立．
当n为奇数时，(−1)n⋅m=−m>12−3n2⇒m12−3n2max=12−322=−4
综上：实数m的取值范围为(−4,1)．
17.解：(1)依题意，f(0)=−1，故切点为(0,−1)，
由切点在切线2x+by−1=0上，得b=−1．
∵f′(x)=−2x2+(4−a)x+a+1ex，
又b=−1，切线方程为2x−y−1=0，其斜率为2，
即f′(0)=2，
∴a+1=2，
∴a=1．
所以，f(x)的解析式为f(x)=2x2+x−1ex
(2)由(1)知f′(x)=−2x2+3x+2ex=−(2x+1)(x−2)ex，
由f′(x)=0，得x=−12，或x=2，
因为f(−1)=0，f(−12)=− e，f(2)=9e2，f(3)=20e3，
易知9e≈24>20，
所以9e2>20e3，
因此，函数f(x)最小值为− e，最大值为9e2．
18.解：(1)因为f(x)=xex，则f′(x)=(x+1)ex，所以f′(1)=2e，又f(1)=e
所以f(x)在1,e处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．
(2)令ℎ(x)=f(x)−aex−1=(x−a)ex+a，其中x>0，则ℎ′(x)=(x−a+1)ex，
由ℎ′(x)=0，可得x=a−1．
当a−1≤0时，即当a≤1时，对任意的x>0，ℎ′(x)>0，
此时，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(x)>ℎ(0)=0，合乎题意；
当a−1>0时，即当a>1时，由ℎ′(x)0，故函数f(x)在(0,1)上单调递增，
先比较fx1−fx2与x1−x2的大小，即比较fx1−fx2与x1−x2的大小关系，
令g(x)=f(x)−x=xex−x，其中00，故fx1−fx2>x1−x2，
19.解：(1)x∈(1,+∞)，f′(x)=ex+(x−2)ex−1+1x=(x−1)ex−1x，
当x>1时，x−1>0，ex>e，1x1x，
∴f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增．
(2)f′(x)=(x−1)ex−1+1x=(x−1)ex−1x，
令ℎ(x)=ex−1x，则ℎ′(x)=ex+1x2>0，所以ℎ(x)在14,1上单调递增，
因为ℎ12=e12−20，
所以存在x0∈12,1，使得ℎx0=0，即ex0=1x0，即lnx0=−x0，
故当x∈14,x0时，ℎ(x)0，
又当x∈14,1时，x−1≤0(等号仅在x=1时成立)，
所以当x∈14,x0时，f′(x)>0，
当x∈x0,1时，f′(x)≤0(等号仅在x=1时成立)，
所以f(x)在14,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
则f(x)max=gx0=x0−2ex0−x0+lnx0=x0−2⋅1x0−x0−x0=1−2x0−2x0，
令G(x)=1−2x−2x，x∈12,1，则G′(x)=2x2−2=21−x2x2>0，x∈12,1，
所以G(x)在12,1上单调递增，则G(x)>G12=−4，G(x)