云南省昆明市第八中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A．12种B．7种C．4种D．3种
2．设是可导函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（ ）．
A．B．或
C．D．或
5．随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A．174B．180C．210D．368
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则x的值为（ ）
A．8B．5C．12D．7
10．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
11．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有两个极值点
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有三个零点
D．当时，函数在上单调递增
三、填空题
12．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为 （用数字做答）.
13．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为 ．
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为 .
四、解答题
15．设数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
16．已知函数在处取得极大值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值．
17．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求．
18．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
19．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意，不同的选法为.
故选B
2．【答案】C
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为．
故选B
4．【答案】D
【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为
所以抛物线的方程为或
故选D
5．【答案】C
【详解】因为构成等差数列，所以，
又，所以，，所以.
故选C
6．【答案】A
【详解】由求导可得：，
因为在上单调递增，所以在时，，
即，而当时，，所以，
故选A.
7．【答案】B
【分析】分析底面是梯形的直四棱柱中，任取4个顶点能构成四面体的最多个数，再利用一个四面体有3对异面直线，列式计算即得.
【详解】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体，
一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点，
从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面，
对角面都是平面四边形，4个顶点共面，
因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有，
所以最多能组成异面直线对数是.
故选B.
【思路导引】本题求出异面直线对数的关键是求出最多的四面体个数.
8．【答案】A
【详解】令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以或，
解得或，
因为，故或均符合题意.
故选AC
10．【答案】BCD
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,
又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,
所以二项式为,
则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；
由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；
由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,
故选: BCD
11．【答案】ABD
【详解】因为，则.
对于A选项，当时，，即方程有两个不等的实根，
此时，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，当时，设的两个不等的实根分别为、，且，
由韦达定理可得，必有，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在上有最小值，B对；
对于C选项，当时，，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数只有两个零点，C错.
对于D选项，当且时，，故函数在上单调递增，D对.
故选ABD.
12．【答案】12
【详解】先排2名女生，有种排法，借助插空法，共有3个空位，故3名男生有种排法，
共有种排法.
13．【答案】/
【详解】设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，
则，
，
所以
．
14．【答案】9
【详解】 由为圆上一动点，得，，
由为圆上一动点，得，，
又，.

因为，，所以，于是.
当共线且时取得最小值，即.
所以，当共线时等号成立.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，有，又，
所以时，
.
当时，也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知, ,所以，
所以
.
所以数列的前项和为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，
令，得或，
当时，令，得或，令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令，得或，令，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
所以.
17．【答案】（1）
（2）0
【详解】（1）由双曲线的左、右顶点
分别为可知，
又由离心率为2，即，可得，
又在双曲线中，可得，
所以双曲线C的方程为.
（2）
因为直线过点且斜率不为0，
且直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），
所以设直线的方程为（其中为直线斜率的倒数），
（由双曲线C的方程为可知其渐近线方程为，
所以直线的斜率，解得）.
设，因为直线OQ交双曲线C于点，所以，
所以， ，
联立，可得，
所以由韦达定理可得，
所以
，
所以.
18．【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【详解】（1）记事件A为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
,
则
（2）（i）若，则，
又
所以或，
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
19．【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可.
（2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程.
（3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得.
【详解】（1）的定义域为，求导得，直线的斜率为2，
令，解得，不妨设切点，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”.
（2）函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
令，求导得，
则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此，
所以曲线的“双重切线”的方程为.
（3）设对应的切点为，对应的切点为，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得，
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【关键点拨】本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点.0
1
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4