新疆乌鲁木齐市第七十中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第七十中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
3．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar．下列结论中正确的是( )
A．当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B．当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C．当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D．当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
5．用这6个数字可以组成个无重复数字的六位数，其中偶数有个，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．新型冠状病毒（2019-NCV）因2019年武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名，为考察某种药物预防该疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．有95%的把握认为药物有效
B．有95%的把握认为药物无效
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物无效
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药物有效
8．已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数D．存在在处取到极小值
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项正确的有（ ）
A．若，则有最小值3
B．若，则有最大值1
C．若，则
D．若，则
10．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（参考：若随机变量服从正态分布，）
A．B．
C．D．
11．在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．是的一个周期
三、填空题（本大题共3小题）
12．设．若，则 ．
13．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
14．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某互联网公司为了确定下季度的前期广告投人计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如表：
他们用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由；
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．
（i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；
（ii）若广告投入量时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
17．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
18．如图，在四棱台中，，，．
(1)记平面与平面的交线为，证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
19．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
参考答案
1．【答案】D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选D.
2．【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选C.
3．【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选C.
4．【答案】D
【详解】对于A选项,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026>lg103=3,根据题图可知,二氧化碳处于固态;
对于B选项,当T=270,P=128时,lg P=lg 128∈(2,3),根据题图可知,二氧化碳处于液态;
对于C选项,当T=300,P=9 987时,lg P=lg 9 9871时，，
则该函数的最大值是，则B正确；
对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；
对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误.
故选B.
9．【答案】BCD
【分析】对A、B，借助基本不等式及其性质即可得；对C、D，借助不等式的性质即可得.
【详解】对A：，
当且仅当，即时，等号成立，由，故不能取等，故A错误；
对B：当时，，当时，，
当且仅当时，等号成立，当时，，故有最大值1，
故B正确；
对C：若，则，故，故C正确；
对D：若，则，故，即，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BC
【分析】根据正态分布的性质及所给条件一一判断即可.
【详解】因为，所以，
而，而，
所以，故A错误；
因为，
所以，故B正确，
依题可知，，所以，
故，故C正确，D错误；
故选BC．
11．【答案】BC
【分析】对A，根据奇偶函数得定义判断；对B，计算可判断；对C，计算可判断；对D，根据周期函数的定义判断.
【详解】由题意得，，
对于A，，
，
∴函数是奇函数，故A错误；
对于B，
，
∴的图象关于点对称，故B正确；
对于C，
，
∴的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，
，
∴不是的周期，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【分析】由分段函数各区间上函数的性质有且，即可求结果.
【详解】由在上递增，在上递增，
所以，由，则，
故，可得.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】利用多项式乘法进行运算，再由二项式定理找到通项，再赋值即可求解
【详解】因为，
其中展开式的通项为，，
令，；令，.
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
14．【答案】0.18
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（），
则，且两两互斥，依题意，，
，
所以成绩是优秀的概率为
.
故答案为：0.18.
15．【答案】(1)选择模型①，理由见解析
(2)（i）；（ii）62.04万元
【分析】（1）根据残差图的分布比较可得结论；
（2）（i）求出剔除异常数据后的平均数，即可求得和，即得回归方程；（ii）将代入回归直线方程，即可得答案.
【详解】（1）选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，
且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，
所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
（2）（i）剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为,
,
,
,
所以所选模型的回归方程为.
（ⅱ）若广告投入量时，该模型收益的预报值是万元．
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意可得，利用导数的几何意义得切线的斜率即可得到切线方程.
（2）求出导函数，由恒成立，当，讨论即可.
【详解】（1）当时，，得，
，则，
所以切线方程为：，即.
（2）由题其定义域为R，可得，
当时，，，在上单调递减，
x∈1,+∞，，在上单调递增，
当时，由，解得，
①当，即时，f′x≥0，则在上单调递增；
②当，即时，在区间上，f′x>0；
在区间上，f′x0，在区间上，f′x