山东省青岛市青岛第九中学2023−2024学年高二下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市青岛第九中学2023−2024学年高二下学期期末 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，．若，则（ ）
A．B．C．3D．6
2．“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
4．的展开式中常数项为（ ）
A．544B．559C．495D．79
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为9
C．的最小值为
D．的最小值为
10．已知函数满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
11．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，，则集合的元素个数为 ．
13．已知随机变量，且，则 .
14．若函数的四个零点成等差数列，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为边的中点，求的长.
16．已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
17．在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．
18．已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为A，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
19．龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
经计算可得：.
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列.
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.
【详解】由，知，解得.
故选C.
2．【答案】B
【分析】由已知点在圆外，求出r的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.
【详解】由题意，点在圆外，则有，
因为，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选A.
【方法总结】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是对x的哪种变换，切记每一种变换总是对x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.
4．【答案】B
【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可.
【详解】展开式中的常数项分三种情况：
第一种，六个括号都提供，此时得到；
第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到；
第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到，
所以展开式的常数项为.
故选B.
5．【答案】D
【分析】首先由求出，再由条件概率公式计算可得.
【详解】因为，，，
所以，
所以，则.
故选D.
6．【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误.
故选B.
7．【答案】B
【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解．
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，
设的内切圆与，相切于点，如图所示，
则，，
所以，
即的周长为，
由椭圆定义可得，，
所以，则.
故选B．
.
8．【答案】D
【分析】由百分位数的概念可知，当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，进而求出概率.
【详解】由题意得，，由于，，
所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以当X为1，2，3，4时，新的样本数据的第25百分位数不变，
即新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.
故选D.
9．【答案】ABD
【分析】对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答.
【详解】因均为正数，且，则有，
当且仅当时取“=”，即的最大值为，A正确；
，
当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确；
显然，在上单调递减，无最小值，C错误；
，
当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确.
故选ABD.
【方法总结】利用基本不等式求最值的方法与技巧：
(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧的使用，使其满足基本不等式的“一正”“二定”“三相等”的条件；
(2)利用基本不等式求最值时，要从整体上把握，有时可乘一个数或加一个数，注意“1”的代换等应用技巧.
10．【答案】AC
【详解】令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断A；根据分步乘法计数原理判断B；先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C；先分组、再分配，即可判断D.
【详解】对于A：二项式展开式的通项为（），
所以、、，、、，
对，
令可得，
令可得，
所以，故A正确；
对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误；
对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任选两双，在这两双中各选一只有种，
由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确；
对于D：分组的方案有、和、两类，
第一类有种，
第二类有种，
所以共有种不同的方案，故D正确.
故选ACD．
【方法总结】应用分步乘法计数原理的注意事项：
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．
12．【答案】2
【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个.
故答案为：2
13．【答案】
【分析】由，可得，进而得答案.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的4个零点，再借助对称性及等差中项列式求解即得.
【详解】由，得，由函数有4个零点，得，
即有或，则的4个零点从小到大依次为，
依题意，，即，解得，
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解；
（2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，得，
化简得，因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，解得或(舍去)．
因为为的中线，所以，
所以，
因为，所以，解得，
即长为3.

16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程；
（2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可．
【详解】（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即；
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，考虑，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以的极大值为，由得；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面，平面，得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理，即可得出答案；
（2）利用等体积法可得为等腰直角三角形，所以，建立坐标系，利用向量垂直可得，求解两平面的法向量，进而可得二面角．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以；
（2）由于平面，，所以平面，平面，故，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
由于，则，
故，
故为等腰直角三角形，所以，
如图，以为坐标原点，所在的直线分别为，，轴建系，
设，则，
故
由于，所以，即，
设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，
因为，，
所以，即
令，则，
因为，，
所以，即
令，则，
设成的角为，由图可知为钝角，
所以，即.
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值；
（2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）（i）如图：
设，将直线的方程代入得：
，所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，解得；
（ii）由（i）可知，所以，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)①最大值为，最小值为；②证明见解析
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程；
（2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；
②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．
【详解】（1）剔除第10天的数据，可得，
，
则，
所以，
可得，所以；
（2）由题意知，其中，
所以，
又由，
所以是首项为1的常数列，即，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，所以；
（3）①当为偶数时，单调递减，
最大值为；
当为奇数时，单调递增，最小值为，
综上可得，数列的最大值为，最小值为；
②证明：对任意总存在正整数，其中表示取整函数，
当时，，
所以数列收敛.日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4