中考数学精品模拟试卷（含详细解析）

这是一份中考数学精品模拟试卷（含详细解析），共57页。

A．4.75mB．4.5mC．5mD．5.5m
2．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（ ）米（精确到1米）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.7）
A．74B．91C．57D．40
3．如图，已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CEF＝90°，且E是中线AD的中点，连接BF，若AB＝4，则线段BF的长为（ ）
A．22B．2C．2D．322
4．已知2−3是关于x的方程x2−4x+2csa=0的一个实数根，则锐角α的度数为（ ）
A．30°B．90°C．60°D．45°
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为32；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝62．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题）
6．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB′．AB'达到最小值时，求BM＝ ．
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= .
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（0，﹣2），点B（x，0）是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持△ABP是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC，求得AP+12PC的最小值为 ．
9．如图，等边△ABO的顶点A在双曲线y=kx且底边BO在x轴上，F为AB中点，O为BC的中点，连接FC交AO于E，四边形BOEF的面积为4，则k＝ ．
10．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连结AC，BC，则图中阴影部分的面积是 ．
11．如图，正方形ABCD中，BC＝13，点E为正方形ABCD外一点，且∠AEB＝90°，将△AEB绕点A逆时针方向旋转得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．若BH＝7，则DH的长为 ．
三．解答题（共7小题）
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边向外作正方形ABDE，点F为直线BC上的一点，连接DF，作FG⊥DF交直线AB于点G．
（1）如图1，若AB＝AC，点F在线段BC上，请直接写出线段DF与FG的数量关系；
（2）如图2，若AB=3AC，点F在线段BC上，试探究线段BD，BF，BG三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=3AC，若AB＝6，DF=42，请直接写出AG的长．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、D(1，a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
14．如图，在Rt△DAP中，∠DAP＝90°，点B在AP上，以AB为直径的⊙O交DP于点C，连接DO并延长交⊙O于点E，连接OC、BC，连接CE交AB于点F，CE恰好平分∠OCB．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）已知sin∠ODC=1010，PB＝2，求⊙O的半径和BF的长．
15．如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为2+1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的一点（点D不与端点重合），点D关于直线AB的对称点为E，连接AD、DE，在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G．
（1）如图1，若∠EFD＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE（用含α的式子表示）；
（2）如图1，若∠EFD＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若∠EFD＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时CGAG的值．
17．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
18．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=34x﹣3与“果圆”中的抛物线y=34x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于点F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求S△ABFS△BEF的最小值．
中考数学精品模拟试卷（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
一．选择题（共5小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为1.5m的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的14．则弹力球第二次落地点C距第一次抛出点的水平距离OC是（ ）
A．4.75mB．4.5mC．5mD．5.5m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意，先把点A坐标代入y＝a（x﹣1）2+2求出a=−12，令y＝0，解方程求出点B坐标，再根据弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，且两条抛物线形状相同，可以设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y=−12（x﹣h）2+12，再把点B坐标代入解析式求出h，再根据对称性即可判断得解．
【解答】解：∵点A（0，1.5）是抛物线y＝a（x﹣1）2+2的起点，
∴1.5＝a（0﹣1）2+2．
∴a=−12．
∴第一次着地前抛物线的解析式为y=−12（x﹣1）2+2，
当y＝0时，−12（x﹣1）2+2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1（舍去）．
∴点B的坐标为（3，0）．
∵两条抛物线是形状相同的两条抛物线，且着地后抛物线的高度是着地前抛物线高度的14，
∴设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y=−12（x﹣h）2+12，
将点B代入该解析式，
∴h1＝4，h2＝2（舍去）．
∴弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y=−12（x﹣4）2+12，
∵弹力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x＝4，
∵点B的横坐标为3，
∴点B到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为4﹣3＝1．
∴点C的横坐标为3+1+1＝5．
∴点C（5，0）．
∴弹力球第二次着地点到点O的距离为5m．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解一元二次方程，平移，掌握二次函数的性质以及平移的性质是解题关键．
2．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（ ）米（精确到1米）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.7）
A．74B．91C．57D．40
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切函数的定义可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：A处测得C处的仰角是37°，测得B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=CDAD，
∴CD＝AD•tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
在Rt△ADB中，tan∠BAD=BDAD，
∴BD=AD⋅tan60°=30×3=303（米），
∴BC=BD+CD=22.5+303≈74（米），
即这栋楼的高度BC是74米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
3．如图，已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CEF＝90°，且E是中线AD的中点，连接BF，若AB＝4，则线段BF的长为（ ）
A．22B．2C．2D．322
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】如图所示，延长CE到点G，使CE＝GE，连接AG，首先求出BD=CD=12BC=2，AE＝DE，证明出△AEG≌△DEC（SAS），得到AG＝CD＝2，然后证明出△ACG∽△BCF，得到AGBF=ACBC=2，进而求解即可．
【解答】解：已知△ABC和△CEF是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CEF＝90°，如图，延长CE到点G，使CE＝GE，连接AG，
∴AB＝BC＝4，
∵E是中线AD的中点，
∴BD=CD=12BC=2，AE＝DE，
在△AEG和△DEC中，
EG=EC∠AEG=∠DECAE=DE，
∴△AEG≌△DEC（SAS），
∴AG＝CD＝2，
∵△ABC和△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，ACBC=2，FCEC=2，
∴∠ACG＝∠BCF，
∵CE＝GE，
∴FC12GC=2，
∴GCFC=2=ACBC，
∴△ACG∽△BCF，
∴AGBF=ACBC=2，即2BF=2，
∴BF=2，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
4．已知2−3是关于x的方程x2−4x+2csa=0的一个实数根，则锐角α的度数为（ ）
A．30°B．90°C．60°D．45°
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系求出m和锐角α的度数．
【解答】解：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系可得：
2−3+m=4，
∴m=2+3，
∴(2+3)(2−3)=2csα，
解得csα=22，由特殊角的三角函数值可得α＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M，P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为32；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝62．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE＝∠FDC，通过等量转化即可求证AG⊥DM，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG≌△AMG（ASA），从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE∽△DGE推出DE2＝GE•AE，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM和CM长度，最后通过面积法即可求证④的结论错误；结合①中的结论和③的结论可求出PM+PN的最小值，从而证明②不对．
【解答】解：∵ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵BF＝CE，
∴DE＝FC，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴∠DAE＝∠FDC，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADG+∠FDC＝90°，
∴∠ADG+∠DAE＝90°，
∴∠AGD＝∠AGM＝90°．
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAG＝∠MAG．
∵AG＝AG，
∴△ADG≌△AMG（ASA）．
∴DG＝GM，
∵∠AGD＝∠AGM＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确．
由①可知，∠ADE＝∠DGE＝90°，∠DAE＝∠GDE，
∴△ADE∽△DGE，
∴DEGE=AEDE，
∴DE2＝GE•AE，
由①可知DE＝CF，
∴CF2＝GE•AE．
故③正确．
∵ABCD为正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝AD＝4，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB＝42．
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴AM＝AD＝4，
∴CM＝AC−AM＝42−4．
由图可知，△DMC和△ADM等高，设高为h，
∴S△ADM＝S△ADC−S△DMC，
∴4×ℎ2=4×42−(42−4)⋅ℎ2，
∴h＝22，
∴S△ADM=12•AM•h=12×4×22=42．
故④错误．
由①可知，△ADG≌△AMG（ASA），
∴DG＝GM，
∴M关于线段AG的对称点为D，过点D作DN′⊥AC，交AC于N′，交AE于P′，
∴PM+PN最小即为DN′，如图所示，
由④可知△ADM的高h＝22即为图中的DN′，
∴DN′＝22．
故②不正确．
综上所述，正确的是①③共两个．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点．
二．填空题（共6小题）
6．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片ABCD，AB＝24，BC＝20，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN沿MN折叠得到△B'MN，连结AB′．AB'达到最小值时，求BM＝ 203 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】203．
【分析】根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点B′在以N为圆心，NB为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到AB′≥AN﹣NB′，结合点M在AB上，根据勾股定理即可求出BM．
【解答】解：将△BMN沿MN折叠得到△B′MN，
∴BN＝NB′，
∵点N为的BC中点，BC＝20，
∴BN＝CN＝NB′＝10，
∴当点M在边AB上运动时，点B′在以N为圆心，NB为半径的圆弧上运动，
连接AN，在△AB′N中，AB′≥AN﹣NB′，
∴A、B′、N共线时，AB′的值最小，如图，
最小为AB′=AN−NB′=AB2+BN2−NB′=242+102−10=676−10=26−10=16；
∴∠AB′M＝90°，
设BM＝x，
∴BM＝BM′＝x，AM＝24﹣x，
在直角三角形AB′M中，
由勾股定理得：B′M2+B′A2＝AM2，
∴x2+162＝（24﹣x）2，
解得：x=203，
即BM=203，
故答案为：203．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=13，则S△AODS△BOC= 19 .
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】19．
【分析】先根据两平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ABDS△BCD=ADBC=13，再证明△AOD∽△COB，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离，
∴S△ABDS△BCD=ADBC=13，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴S△AODS△BOC=（ADBC）2＝（13）2=19．
故答案为：19．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．也考查了梯形的性质．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（0，﹣2），点B（x，0）是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持△ABP是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC，求得AP+12PC的最小值为 23 ．
【考点】胡不归问题；坐标与图形性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．
【专题】推理能力．
【答案】23．
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD（SAS）得到∠PDA＝∠BOA＝90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，﹣2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO＝30°，从而得到AP+12PC=GP+PF，则当G、P、F三点共线时，GP+PF有最小值，即AP+12PC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【解答】解：如图1，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标是（0，2），
∴OA＝OD＝2，
∵DE⊥OA
∴∠ADE=∠ODE=12∠ADO=30°，
∴OE＝AE＝1，
∴DE=OD2−OE2=3，
∴点D的坐标为(3，1)；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，
∴AB＝AP，∠BAP＝60°，AO＝AD，∠OAD＝60°，
∴∠BAP+∠PAO＝∠DAO+∠PAO，
即∠BAO＝∠PAD，
在△BAO和△PAD中，
AB=AP∠BAO=∠PADAO=AD，
∴△BAO≌△PAD（SAS），
∴∠PDA＝∠BOA＝90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，
∴AO＝PO＝2，
∴此时点P的坐标为（0，﹣2），
设直线PD的解析式为y＝kx+b，
∴3k+b=1b=−2，
∴k=3b=−2，
∴直线PD的解析式为y=3x−2；
如图3，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
当y＝0时，0=3x−2，
解得x=233，
∴点H的坐标为(233，0)，
∴OH=233，
∴tan∠OCH=OHOC=33，
∴∠OCH＝30°，
∴PF=12PC，
由轴对称的性质可知AP＝GP，
∴AP+12PC=GP+PF，
∴当G、P、F三点共线时，GP+PF有最小值，即AP+12PC有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC＝90°，
∴AD＝GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为(3，1)，
∴AG＝2AD＝2OA＝4，
∵AC＝4，∠CAG＝60°，
∴△ACG是等边三角形，
∵OC＝OA，
∴OG⊥AC，即点G在x轴上，
∴由勾股定理得OG=42−22=23，
∴当点P运动到H点时，GP+PF有最小值，即AP+12PC有最小值，最小值即为OG的长，
∴AP+12PC的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等知识点，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
9．如图，等边△ABO的顶点A在双曲线y=kx且底边BO在x轴上，F为AB中点，O为BC的中点，连接FC交AO于E，四边形BOEF的面积为4，则k＝ ﹣6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】设等边△ABO的边长为a，则AB＝AO＝BO＝a，可求B（﹣a，0），C（a，0），过A作AG⊥x轴于G，根据三线合一的性质求出BG=OG=a2，根据勾股定理求出AG=32a，则A(−a2，32a)，根据中点坐标公式求出F(−34a，34a)，根据待定系数法求出设直线CF解析式为y=−37x+37b，直线OA解析式为y=−3x，联立方程组y=−3xy=−37x+37b，请求出E(−a6，36a)，根据割补法得出S△BCF﹣S△COE＝4，则可求3a2=24，最后根据待定系数法求出k的值即可．
【解答】解：设等边△ABO的边长为a，则AB＝AO＝BO＝a，
∴B（﹣a，0），
由条件可知CO＝BO＝a，
∴C（a，0），
过A作AG⊥x轴于G，
∴BG=OG=a2，
∴AG=AO2−OG2=32a，
∴A(−a2，32a)，
∵F为AB中点，
∴F(−a−a22，0+32a2)，即F(−34a，34a)，
设直线CF解析式为y＝k1x+b1，
则−ak1+b1=0−34ak1+b1=34a，
解得k1=−37b1=37a，
∴y=−37x+37b，
设直线OA解析式为y＝k2x，
则−a2k2=32a，
解得k2=−3，
∴y=−3x，
联立方程组y=−3xy=−37x+37b，
解得x=−a6y=36a，
∴E(−a6，36a)，
由条件可得S△BCF﹣S△COE＝4，
∴12×2a×34a−12×a×36a=4，
∴3a2=24，
∴k=−a2×32a=−3a24=−6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．待定系数法等知识，设等边△ABO的边长为a，求出E的坐标(−a6，36a)是解题的关键．
10．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连结AC，BC，则图中阴影部分的面积是 4π3−23 ．
【考点】扇形面积的计算；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】4π3−23．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质证明四边形AOBC为菱形，根据菱形面积公式求出菱形AOBC的面积，由扇形面积公式求出扇形AOB的面积，最后根据S阴影＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC求出阴影部分的面积即可．
【解答】解：如图，连接AB、OC交于点D．
∵C是AB的中点，
∴AC=BC ，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB＝60°，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴△AOC和△BOC为等边三角形，
∴OA＝OB＝AC＝BC＝2，
∴四边形AOBC为菱形，
∴AB⊥OC，
∵AD＝OA•sin∠AOC＝2×32=3，
∴AB＝23，
∴S菱形AOBC=12AB•OC=12×23×2＝23，
∵S扇形AOB=120360π×22=4π3，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=4π3−23．
故答案为：4π3−23．
【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理，掌握圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，菱形和扇形面积计算公式是解题的关键．
11．如图，正方形ABCD中，BC＝13，点E为正方形ABCD外一点，且∠AEB＝90°，将△AEB绕点A逆时针方向旋转得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．若BH＝7，则DH的长为 17 ．
【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】17．
【分析】连接BD，由正方形的性质可得∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC＝13，则由勾股定理可得BD2＝AB2+AD2＝338，由旋转的性质可得∠EAF＝∠BAD＝90°，∠AFD＝∠AEB＝90°，则可证明四边形AEHF是矩形，得到∠EHF＝90°，据此根据勾股定理可求出答案．
【解答】解：正方形ABCD中，BC＝13，如图，连接BD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD＝BC＝13，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2＝338，
∵△AEB绕点A 逆时针方向旋转得到△ADF，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴∠AFH＝180°﹣∠AFD＝90°，
又∵∠AEB＝90°，
∴四边形AEHF是矩形，
∴∠EHF＝90°，
∴∠BHD＝180°﹣∠EHF＝90°，
在直角三角形BDH中，由勾股定理得：DH=BD2−BH2=17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
三．解答题（共7小题）
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边向外作正方形ABDE，点F为直线BC上的一点，连接DF，作FG⊥DF交直线AB于点G．
（1）如图1，若AB＝AC，点F在线段BC上，请直接写出线段DF与FG的数量关系；
（2）如图2，若AB=3AC，点F在线段BC上，试探究线段BD，BF，BG三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=3AC，若AB＝6，DF=42，请直接写出AG的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）DF＝FG；
（2）2BF+BD=3BG，理由见解答过程；
（3）3−153或3+153．
【分析】（1）由正方形的性质及处置的性质可知，∠DBG＝∠DFG＝90°，所以D、B、F、G四点共圆，所以∠GBF＝∠GDF，则等腰三角形的性质可知，∠GDF＝45°，所以△GDF是以点F为直角顶点的等腰直角三形，由此可得结论；
（2）连接DG，过点G作GH⊥BC，垂足为点H，由正切函数的定义可知，∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，由∠DBG＝∠DFG＝90°，可得D、B、F、G四点共圆，所以∠GBF＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，因为∠DFG＝90°，所以GF=12DG，由D、B、F、G四点共圆，可知∠GFH＝∠GDB，所以cs∠GFH＝cs∠GDB，可得FH=12BD，在Rt△GBH中，由cs∠GBH＝cs30°=BHBG，代入化简可得结论；
（3）根据题意可知，需要分两种情况：①当点F在线段BI上时，②当点F在点I的左侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接DG，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝BD，∠DBA＝90°，
∵FG⊥DF，
∴∠DFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，即∠GBF＝45°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DBG＝∠DFG＝90°，
∴D、B、F、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，
∴∠GDF＝45°，
∵∠DFG＝90°，
∴△GDF是以点F为直角顶点的等腰直角三形，
∴DF＝FG；
（2）连接DG，过点G作GH⊥BC，垂足为点H，如图2，
∴tan∠ACB=3，
∴∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DBG＝∠DFG＝90°，
∴D、B、F、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，
∴∠GDF＝30°，
∵∠DFG＝90°，
∴GF=12DG，
∵D、B、F、G四点共圆，
∴∠GFH＝∠GDB，
∴cs∠GFH＝cs∠GDB，
∵cs∠GFH=FHGF，
∴cn∠GDB=BDDG，
∴FHGF=BDDG，
∴FH12DG=BDDG，
∴FH=12BD，
在Rt△GBH中，
∵∠GBH＝∠ABC＝30°，
∴cs∠GBH＝cs30°=BHBG，
∴32=BHBG=BF+FHBG=BF+12BDBG，
∴2BF+BD=3BG；
∴线段BD、BF、BG三者之间的关系式：2BF+BD=3BG；
（3）∵AB＝3，AB＝BD，
∴BD＝3，
∵DF＝22，
∴DF＜BD，
∵点F在直线BC上，
∴点F在点B的左侧，
过点D作DI⊥BC，垂足为点I，
①当点F在线段BI上时，如图，
∵∠DBA＝∠DFG＝90°
∴D、F、B、G四点共圆，
∴∠GBC＝∠GDF，即∠ABC＝∠GDF，
∵∠ABC＝30°，
∴∠GDF＝30°，
∵cs∠GDF=DFDG，
∴DG＝DF÷cs30°=463，
∵BD＝3，
∴BG=DG2−BD2=153，
∴AG＝AB﹣BG＝3−153；
②当点F在点I的左侧时，如图，
∵∠DBA＝90°，
∴∠DBG＝90°，
∵∠DFG＝90°，
∴∠DBG+∠DFG＝180°，
∴D、F、B、G四点共圆，
∴∠GBF＝∠GDF，
∵∠ABC＝30°，
∴∠GBF＝∠GDF＝30°，
∵cs∠GDF=DFDG，
∴DG＝DF÷cs30°=463，
∵BD＝3，
∴BG=DG2−BD2=153，
∴AG＝AB﹣BG＝3+153；
综上所述，AG的长为3−153或3+153．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的三边关系，四点共圆及圆周角定义等相关知识，关键是得出点D，F，B，G四点共圆．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、D(1，a+22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN；
（3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=14x2−34x−1；
（2）见解答；
（3）﹣3．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接CN，根据题意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），进而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出MN=22，求出DN=22，从而得到∠NDM＝∠NMD，结合平行线的性质即可证明结论；
（3）设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出当a＝1时，x2＝1﹣b≥3，得到点G在H的上方，设GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其对称轴为m=1−b2，分为32≤1−b2≤3和1−b2＞3两种情况讨论即可．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中，
得a−b−1=016a+4b−1=0，
解得a=14b=−34，
∴抛物线对应的函数表达式为y=14x2−34x−1．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b＝1，
∴y＝ax2+x﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a﹣2，
∴M（﹣1，a﹣2），
当x＝1时，y＝a，
∴N（1，a），
∵C（﹣1，a），N（1，a），
∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴MN=CM2+CN2=22，
∵DN=a+22−a=22，
∴DN＝MN，
∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，
当a＝1时，y＝x2+bx﹣1，
∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx﹣1＝x﹣1，
解得x1＝0，x2＝1﹣b．
∵b≤﹣2，
∴x2＝1﹣b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m，
其对称轴为m=1−b2，且1−b2≥32，
①当32≤1−b2≤3时，即﹣5≤b≤﹣2，
由图可知，
当m=1−b2时，t取得最大值(1−b)24=4，
解得b＝﹣3或b＝5（舍去），
②当1−b2＞3时，得b＜﹣5，
由图可知，
当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4，
解得b=−103（舍去），
综上所述，b的值为﹣3．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
14．如图，在Rt△DAP中，∠DAP＝90°，点B在AP上，以AB为直径的⊙O交DP于点C，连接DO并延长交⊙O于点E，连接OC、BC，连接CE交AB于点F，CE恰好平分∠OCB．
（1）求证：DP为⊙O的切线；
（2）已知sin∠ODC=1010，PB＝2，求⊙O的半径和BF的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）半径为8，BF=810−163．
【分析】（1）证明△AOD≌△COD（SAS），得到∠DCO＝∠DAO＝90°，即可能由切线的判定定理得出结论；
（2）连接AC，证明△BCP∽△CAP，得BCAC=PBPC=PCPA，再根据sin∠ODC=1010，求得OCCD=13，又由∠CAP＝∠ODC，从而求得BCAC=PBPC=PCPA=13，即可求得PC＝6，PA＝18，AB＝16，半径为8．继而求得BC=8510，然后证明△BCF∽△OEF，得BCOE=BFOF，即 85108=BF8−BF，即可求解．
【解答】（1）证明：∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠E，
∵∠OCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠E，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠AOD，∠DOC＝∠OCB，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠AOD＝∠DOC，
又∵OA＝OC，OD＝OD，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠DAO＝∠DCO，
∵∠DAO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC为半径，
∴DP为⊙O的切线．
（2）解：连接AC，
∵BC∥DE，
∴∠ODC＝∠BCP，
由题意可得：
∠BCP+∠OCB＝∠CAB+∠OBC＝90°，
∵∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCP＝∠CAP，
∴△BCP∽△CAP，
∴BCAC=PBPC=PCPA，
∵sin∠ODC=1010，
∴OCOD=1010，
∴OD=10OC，
∵(10OC)2=OC2+CD2，
∴OCCD=13，
∴tan∠CDC=OCCD=13，
∵∠CAP＝∠ODC，tan∠CAB=BCAC，
∴BCAC=13，
∴BCAC=PBPC=PCPA=13，
∵PB＝2，
∴PC＝6，PA＝18，
∴AB＝16，
∴OA=12AB=8，
∵AB2＝BC2+AC2＝BC2+（3BC）2＝10BC2，
∴BC=8510，
∵BC//OE，
∴△BCF∽△OEF，
∴BCOE=BFOF，
∴85108=BF8−BF，
∴BF=810−163．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，相似角形的判定与性质，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论等知识，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键．
15．如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为2+1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）2105．
【分析】（1）连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，由正方形性质得∠BAC＝∠DAC＝45°，再由角平分线性质得OC＝OE，即可证明；
（2）设AE＝OE＝OC＝OF＝R，表示出OA和OC，再列出关于R的方程，解方程即可解答；
（3）连接FN，ON，设CM＝k，由已知利用k表示出相关线段，再根据勾股定理表示出MN＝2k，CN=5k，利用CF长求出k，即可求出CN．
【解答】（1）证明：如图，
连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴OE＝OG，
∵OE 为⊙O的半径，
∴OG为⊙O的半径，
∵OG⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：如图，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∴由（1）可知 AE＝OE，
设AE＝OE＝OC＝OF＝R，
在Rt△AEO中，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴AO2＝R2+R2，
∵R＞0，
∴AO=2R，
又∵正方形ABCD的边长为2+1，
在Rt△ADC中，
∴AC=AD2+CD2=2(2+1)，
∵OA+OC＝AC，
∴2R+R=2(2+1)，
∴R=2，
∴⊙O的半径为 2；
（3）解：如图，
连接FN，ON，
设CM＝k，
∵CM：FM＝1：4，
∴CF＝5k，
∴OC＝ON＝2.5k，
∴OM＝OC﹣CM＝1.5k，
在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN＝2k，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：CN=5k，
又∵FC=5k=2R=2×2=22，
∴k=225，
∴CN=5×225=2105．
【点评】本题考查了圆的综合应用，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的一点（点D不与端点重合），点D关于直线AB的对称点为E，连接AD、DE，在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G．
（1）如图1，若∠EFD＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE（用含α的式子表示）；
（2）如图1，若∠EFD＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若∠EFD＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时CGAG的值．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠AGE＝60°+α；
（2）CG=233DE；理由见解答过程；
（3）CGAG=3+52或3−12．
【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合∠EFD＝∠BAC即可求解；
（2）在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，BM交AD于点H，连接BE，AE，再证明四边形EBMG是平行四边形，可得CG＝2BD，记AB 与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，再解Rt△BND即可；
（3）连接BE，记AB与DE的交点为点N，由轴对称知∠EAB＝∠DAB，DE⊥AB，NE＝ND，∠EBA＝∠DBA＝45°，当点G在边AC上时，由于∠EAG＞90°，当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG，∠BAD＝α，∠AGE＝α，解得α＝30°，然后AF＝x，解直角三角形，表示出AG＝2x，CG＝（3−1）x，即可求解；当点G在CA延长线上时，只能是GE＝GA，设∠BAD＝∠BAE＝β，在Rt△AFE 中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°，解得β＝60°，设GF＝x，解直角三角形求出CG＝（5+3）x，即可求解．
【解答】解：（1）如图1.1，
∵∠EFD＝60°，
∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，
∴∠1＝60°﹣α，
∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）CG＝DE；理由如下：
在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△BCA为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，
∴△ABD≌△BCM（SAS），
∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3+∠5，
∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，
∵∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴EB∥AC，
∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE＝GM，
∴BE＝GM＝BD＝CM，
∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，
在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABC=32BD，
∴DE＝2DN=3BD，
∴CGDE=2BD3BD233DE；
（3）连接BE，记AB与DE的交点为点N，如图2，
∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由轴对称知∠EAB＝∠DAB＝α，∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND，
当点G在边AC上时，由于∠EAG＞90°，
∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG，
∵∠BAC＝∠AFG＝90°，
∴∠AGE＝α，
∴∠AEG＝α，
∵∠EAD＝2α，
∵AE＝AG，EG⊥AD，
∴∠FAG＝∠EAD＝2α，
在△AEG中，α+2α+2α+α＝180°，
解得α＝30°，
∴∠EAD＝60°，
∵AE＝AD，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝ED，
设AF＝x，
∵∠EAD＝60°，
∴AG＝AE＝ED=AFcs60°=2x，
∴DN＝x，
在Rt△DAN中，AN=DNtan∠DAB=3DN=3x，
∵DE⊥AB，∠ABC＝45°，
∴BN=DNtan45°=DN＝x，
∴AC＝AB＝x+x，
∴CG＝AC﹣AG=3x+x﹣2x＝（3−1）x，
∴CGAG=3−12；
当点G在CA延长线上时，只能是GE＝GA，如图3：
设∠BAD＝∠BAE＝β，
∴∠DAC＝∠GAF＝90﹣β，
∴∠EAF＝180°﹣2β，
∴∠GAE＝∠EAF﹣∠GAF＝90°﹣β，
∵GE＝GA，
∴∠GAE＝∠GEA＝90°﹣β，
∵∠EFD＝∠BAC＝90°，
在Rt△AFE中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°，
解得β＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°＝∠GAF，
设GF＝x，则AG＝GE＝2x，AF=3x，
在Rt△EFA中，EF＝2x+x＝3x，
由勾股定理得AE＝23x，
在Rt△EAN中，AN＝AE•cs60°=3x，EN＝DN＝BN＝AE•sin60°＝3x，
∴AB＝AC＝3x+3x，
∴CG＝AG+AC＝（5+3）x，
∴CGAG=3+52，
综上所述，CGAG=3+52或3−12．
【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
17．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB=34，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△CBA，推出ABCB=DBAB，可得DB=AB2CB=20232=252，由DE∥AB，推出AEAC=BDBC，求出AE即可．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，由△AFN∽△ADM，可得ANAM=AFAD=tan∠ADF＝tanB=34，推出AN=34AM=34×12＝9，推出CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE．
（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k×34=3k，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴202＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝4或﹣4（舍弃），
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2•4k＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABCB=DBAB，
∴DB=AB2CB=20232=252，
∵DE∥AB，
∴AEAC=BDBC，
∴AE=AC⋅BDBC=20×25232=12516．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝20，tanB=34
∴BM＝CM＝16，
∴BC＝32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=AB2−BM2=202−162=12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴ANAM=AFAD=tan∠ADF＝tanB=34，
∴AN=34AM=34×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
18．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=34x﹣3与“果圆”中的抛物线y=34x2+bx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于点F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求S△ABFS△BEF的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）y=34x2−94x−3；
（2）“果圆”上存在点P使∠APC＝∠CAB；点P坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）；
（3）54．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）求出线段AC，BC进而得出AC＝BC，判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P．
（3）先判断出要S△ABFS△BEF的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，即可求解．
【解答】解：（1）已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y=34x﹣3与“果圆”中的抛物线y=34x2+bx+c交于B，C两点，
当x＝0时，得：y＝﹣3，
当y＝0时，得：34x﹣3＝3，
解得：x＝4，
∴B（0，﹣3），C（4，0），
将点B，点C的坐标分别代入y=34x2+bx+c得：
c=−334×16+4b+c=0，
解得：b=−94c=−3，
∴“果圆”中的抛物线的解析式为y=34x2−94x−3；
（2）“果圆”上存在点P使∠APC＝∠CAB；理由如下：
解：如图1，
∵AC是半圆的直径，
∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC＝90°，
∴点P只能在抛物线部分上，
∵B（0，﹣3），C（4，0），
∴BC＝5，
∵AC＝5，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
当∠APC＝∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），
由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），
即：使∠APC＝∠CAB，点P坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）．
（3）如图3，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，
过点E作EG∥BC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，
∴S△ABF=12AF•h，S△BEF=12EF•h，
∴S△ABFS△BEF=AFEF，
∵S△ABFS△BEF的最小值，即AEEF最小，
∵CF∥GE，
∴AFEF=ACCG=5CG，
∴当CG最大时，即AEEF最小，S△ABFS△BEF的最小值，
∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，
∵直线BC的解析式为y=34x﹣3，
设直线EG的解析式为y=34x+m①，
∵抛物线的解析式为y=34x2−94x−3②，
联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，
∴Δ＝144+4×3（12+4m）＝0，抛物线和直线只有一个交点．
解得：m＝﹣6，
∴直线EG的解析式为y=34x﹣6，
∴直线EG与x轴交点坐标（8，0），
∴CG＝4，
∴S△ABFS△BEF=AEEF=ACCG=54；
∴S△ABFS△BEF的最小值为54．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．
考点卡片
1．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
4．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
5．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
6．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
11．等边三角形的判定
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
14．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查．
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
17．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
18．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
19．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
20．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
21．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
22．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
23．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．
24．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
25．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
26．胡不归问题
胡不归问题是一类加权线段和最值问题（带系数线段和最值问题），这是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”，典型特质是求AP+k•BP的形式．“PA+k•PB”型的最值问题是中考考查的热点，此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题．
27．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
28．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
29．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
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1
2
3
4
5
答案
C
A
C
D
B